Hodge 定理

Hodge 定理是 Riemann 几何和 Kähler 几何中的定理, 由 Hodge 发现并证明, 说的是紧 Riemann 流形的 de Rham 上同调类, 紧 Kähler 流形的 de Rham 上同调、Dolbeault 上同调类, 都有调和形式作为典范代表元.

该定理在复几何和代数几何中影响深远, 它能立刻推出 Hodge 分解定理, 从而把 Hodge 结构的研究带入到复几何中, 引出一整套 Hodge 理论. 复几何版本的 Serre 对偶也是它的推论.

1陈述

Riemann 情形

定理 1.1. $X$ 是 $n$ 维紧 Riemann 流形. 对 $k$ 次微分形式, 以 $\mathrm{d}$ 记其外微分, ${\mathrm{d}}^{\ast }$ 是 $\mathrm{d}$ 之伴随, $\Delta =\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{\ast }+{\mathrm{d}}^{\ast }\mathrm{d}$ 为 Laplace 算子, ${\mathcal{H}}^k(X)=\{\omega \in {\Omega }^k(X)\mid \Delta \omega =0\}$, 称为 $k$ 次调和形式. 则有正交分解$${\mathcal{A}}^k(X)\simeq {\mathcal{H}}^k(X)\oplus \mathrm{im}\mathrm{d}\oplus \mathrm{im}{\mathrm{d}}^{\ast },$$特别地, 它诱导同构 ${\mathcal{H}}^k(X)\cong H_{\text{dR}}^k(X)$, 其中 $H_{\text{dR}}^k(X)$ 表示 $k$ 次 de Rham 上同调.

Kähler 情形

定理 1.2. $X$ 是 $n$ 维紧 Hermite 流形, $E$ 是其上全纯向量丛, 带有 Hermite 度量. 对 $E$ 值 $(p,q)$-微分形式, 以 $\bar{\partial }$ 记其 Dolbeault 微分, ${\bar{\partial }}^{\ast }$ 为其伴随, ${\Delta }_{\bar{\partial }}=\bar{\partial }{\bar{\partial }}^{\ast }+{\bar{\partial }}^{\ast }\bar{\partial }$. 记 ${\mathcal{H}}_{\bar{\partial }}^{p,q}(E)=\{\omega \in {\mathcal{A}}^{p,q}(E)\mid {\Delta }_{\bar{\partial }}\omega =0\}$, 称为 $q$ 次调和形式. 则有正交分解$${\mathcal{A}}^{p,q}(E)\simeq {\mathcal{H}}_{\bar{\partial }}^{p,q}(E)\oplus \mathrm{im}\bar{\partial }\oplus \mathrm{im}{\bar{\partial }}^{\ast },$$特别地, ${\mathcal{H}}_{\bar{\partial }}^{p,q}(E)\cong H_{\bar{\partial }}^{p,q}(E)$, 其中 $H_{\bar{\partial }}^{p,q}(E)$ 表示 $(p,q)$ 次 Dolbeault 上同调.

取 $E$ 为秩 $1$ 平凡丛, 即得到 $X$ 本身的 Dolbeault 上同调的表述. 如取 $E$ 为反全纯向量丛 (例如平凡丛), 也可以得到相应的关于 $\partial$ 的定理.

2证明

3推论

将此二定理结合, 用 Kähler 恒等式能推出 Hodge 分解:

定理 3.1 (Hodge 分解). 对 $n$ 维 Kähler 流形 $X$, 有$$H^k(X,\mathbb{C})=\underset{p+q=k}{⨁}{H}^q(X,{\Omega }_X^p),$$其中左边是 de Rham 上同调, 右边是全纯微分丛的 Dolbeault 上同调. 此同构不依赖 Kähler 结构 $\omega$ 的选取.

证明见相应主条目.

4相关概念

•	Hodge 星算子
•	Laplace 算子
•	椭圆正则性
•	de Rham 上同调
•	Kähler 恒等式
•	Hodge 结构
•	Hodge 理论

术语翻译

Hodge 定理 • 英文 Hodge theorem • 德文 Satz von Hodge • 法文 théorème de Hodge