复微分形式

复微分形式是可以取系数的微分形式.

复流形上的复微分形式是复几何的核心研究对象之一, 也是 Hodge 理论建立的基础.

1定义

定义 1.1 (复微分形式). 光滑流形 上的 复微分形式, 或者说-形式, 是指向量丛的光滑截面. 所有复 -形式的空间通常记为 .

2-形式

通过坐标定义

复流形 上, 取全纯的局部坐标 , 记 , 其中 为实坐标. 则可定义复 -形式因为 都可以写成 的线性组合, 所以任何 都能写成的形式, 其中 是复值光滑函数.

定义 2.1 (-形式).复流形 上, 在上述记号下, 形如的形式称为 -形式. 所有 -形式的空间通常记为 , 这一空间不依赖于全纯坐标的选取.

这样, 我们就有

坐标无关定义

上述定义也可以写成坐标无关的形式. 在复流形 上, 在每个 处, 都有复结构带来的算子这里与 相乘的操作是将 视为复向量空间而进行的. 因为 , 所以 特征值必为 . 因此, 余切空间的复化 可以分成特征子空间直和:其中 分别为特征值 的特征子空间. 事实上, 在局部坐标下 (记号同上小节), 有从而这也说明, 每个点 处的特征子空间 分别拼成向量丛 的两个子丛, 且有向量丛的直和

定义 2.2 (-形式). 复流形 上的 -形式是复向量丛的光滑截面, 这里外积张量积都在 上进行. 所有 -形式的空间通常记为 .

通过嵌入可以将 形式看作 阶复微分形式. 在这个意义下, 我们有直和分解

3操作

(…)

4相关概念

de Rham 上同调

Dolbeault 上同调

Hodge 理论

术语翻译

复微分形式英文 complex differential form

-形式英文 -form