内射维数

在有足够内射对象的 Abel 范畴中, 内射维数衡量一个对象离内射有多远.

1定义

定义 1.1. $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 有足够内射对象, $M\in \mathcal{A}$. $M$ 的内射维数 $\mathrm{id}(M)$ 指的是函子 $\mathrm{Hom}(-,M)$ 的同调维数. 换言之, $$\mathrm{id}(M)=\sup \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}^n(-,M)\ne 0\}.$$

注 1.2. 依定义, $\mathrm{id}(M)$ 也是 $\mathcal{A}$ 到 $\mathsf{Fun}({\mathcal{A}}^{\text{op}},\mathsf{Ab})$ 的函子 $M\mapsto \mathrm{Hom}(-,M)$ 下, 对象 $M$ 的同调维数.

2性质

记号沿上.

命题 2.1. 对短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0,$$有 $\mathrm{id}(M)\le \max \{\mathrm{id}(N),\mathrm{id}(Q)\}$, $\mathrm{id}(Q)\le \max \{\mathrm{id}(M),\mathrm{id}(N)\}$, $\mathrm{id}(N)\le \max \{\mathrm{id}(M),\mathrm{id}(Q)+1\}$. 如果 $\mathrm{id}(M)<\mathrm{id}(N)$, 则 $\mathrm{id}(N)=\mathrm{id}(Q)+1$.

命题 2.2. $M$ 的内射维数就是其内射消解的最短长度, 即$$\mathrm{id}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid 存在正合列0\to M\to I_0\cdots \to I_n\to 0,各I_i内射\}.$$此外, 对任意 $n\ge \mathrm{id}(M)$ 以及正合列$$0\to M\to I_0\cdots \to I_n\to 0,$$只要 $I_0,\dots ,I_{n-1}$ 内射, $I_n$ 也就内射.

命题 2.3. $$\mathrm{id}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}^{n+1}(-,M)=0\}.$$特别地, $M$ 内射当且仅当 ${\mathrm{Ext}}^1(-,M)=0$.

考虑到注 1.2, 这些命题是同调维数条目对应命题的立即推论.

以下是关于环上模的一些具体结论.

命题 2.4. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. 则$$\mathrm{id}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid \forall J\subseteq R左理想,{\mathrm{Ext}}^{n+1}(R/J,M)=0\}.$$

证明. 显然右边只可能更小, 因为其条件相比命题 2.3 的右边更容易满足. 以下对 $d\in \mathbb{N}$ 归纳证明, 只要左边大于 $d$, 右边也会大于 $d$. $d=0$ 的情形是 Baer 判别法. $d>0$ 时, 假设命题对 $d-1$ 成立, 作短正合列$$0\to M\to I\to C\to 0,$$其中 $I$ 内射. 由 $\mathrm{id}(M)>d$ 可知 $\mathrm{id}(C)>d-1$. 对 $C$ 用归纳假设知存在左理想 $J$, ${\mathrm{Ext}}^d(R/J,C)\ne 0$. 对以上短正合列写出 $\mathrm{Hom}(R/J,-)$ 的导出函子长正合列即得$${\mathrm{Ext}}^{d+1}(R/J,M)\cong {\mathrm{Ext}}^d(R/J,C)\ne 0,$$结合对 $M$ 的归纳假设即得命题里的右边大于 $d$.

$\square$

3例子

•	内射对象就是内射维数 $0$ 的对象.
•	由于主理想整环上内射模就是可除模, 而可除模的商模可除, 由命题 2.2 即知主理想整环上模的内射维数至多是 $1$. 在 $\mathsf{Ab}$ 中, $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/n$ 的内射维数都是 $1$, 而 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的则是 $0$.
•	$\mathbb{Z}/2$ 作为 $\mathbb{Z}/4$-模的内射维数是 $\infty$.

4相关概念

•	同调维数
•	整体维数

术语翻译

内射维数 • 英文 injective dimension • 德文 injektive Dimension • 法文 dimension injective • 拉丁文 dimensio iniectiva • 古希腊文 ἑνιετικὴ διάστασις