仿射空间

仿射空间是几何学中的重要对象. 直观地说, 仿射空间就是像向量空间一样的空间, 只是我们忘掉哪里是原点, 这样所有点看起来都一样. 例如, Euclid 几何就是 $\mathbb{R}$ 上的仿射空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的几何.

零维仿射空间是单点空间. 一维、二维的仿射空间分别称为仿射直线、仿射平面.

1定义

一般定义

定义 1.1 (仿射空间). 设 $k$ 是域. 则 $k$ 上的仿射空间是 $k$ 上某个向量空间的自由齐性空间. 也就是说, 向量空间 $V$ 上的仿射空间是二元组 $(A,t)$, 其中 $A$ 是集合, $t:V\times A\to A$ 是映射, 满足条件

•	它是群作用, 即对任意 $p\in A$, $v_1,v_2\in V$, $t(v_1,t(v_2,p))=t(v_1+v_2,p)$.

•	它是自由、传递作用, 即对任意 $p\in A$, $t(-,p):V\to A$ 是双射.

此时 $A$ 中元素称为仿射空间的点, $t(v,p)$ 称为点 $p$ 沿向量 $v$ 的平移. 另外, 有时也说 $A$ 是向量空间 $V$ 上的仿射空间.

定义 1.2 (拓扑、几何结构). 如果 $V$ 上有某个被平移保持的结构, 例如 ${\mathbb{R}}^n$ 上的拓扑结构、微分流形结构或 Riemann 流形结构等, 则对其上仿射空间 $A$ 中任意一点 $p$, $t(-,p)$ 诱导了 $A$ 上的相应结构, 且此结构不依赖于 $p$ 的选取.

作为概形

在代数几何中, “仿射空间” 一词具有略微不同的含义: 我们只将仿射空间视作概形, 而忽略其上的齐性空间结构.

定义 1.3 (仿射空间). 设 $k$ 是域, $n$ 是自然数. 则 $k$ 上的 $n$ 维仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 定义为概形$${\mathbb{A}}_k^n=\mathrm{Spec}k[x_1,\dots ,x_n].$$

更一般地, 设 $S$ 是概形. 则 $S$ 上的 $n$ 维仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n$ 定义为$${\mathbb{A}}_S^n=S{\times }_{\mathbb{Z}}\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n].$$自然态射 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ 也称为仿射空间.

2相关概念

•	仿射变换
•	射影空间
•	仿射概形

术语翻译

仿射空间 • 英文 affine space • 德文 affiner Raum (m) • 法文 espace affine (m)