仿射空间

仿射空间几何学中的重要对象. 直观地说, 仿射空间就是像向量空间一样的空间, 只是我们忘掉哪里是原点, 这样所有点看起来都一样. 例如, Euclid 几何就是 上的仿射空间 中的几何.

零维仿射空间是单点空间. 一维、二维的仿射空间分别称为仿射直线仿射平面.

1定义

一般定义

定义 1.1 (仿射空间).. 则 上的仿射空间 上某个向量空间自由齐性空间. 也就是说, 向量空间 上的仿射空间是二元组 , 其中 是集合, 是映射, 满足条件

它是群作用, 即对任意 , , .

它是自由传递作用, 即对任意 , 双射.

此时 中元素称为仿射空间的, 称为点 沿向量 平移. 另外, 有时也说 是向量空间 上的仿射空间.

定义 1.2 (拓扑、几何结构). 如果 上有某个被平移保持的结构, 例如 上的拓扑结构、微分流形结构或 Riemann 流形结构等, 则对其上仿射空间 中任意一点 , 诱导了 上的相应结构, 且此结构不依赖于 的选取.

作为概形

代数几何中, “仿射空间” 一词具有略微不同的含义: 我们只将仿射空间视作概形, 而忽略其上的齐性空间结构.

定义 1.3 (仿射空间)., 自然数. 则 上的 仿射空间 定义为概形

更一般地, 设 概形. 则 上的 仿射空间 定义为自然态射 也称为仿射空间.

2相关概念

仿射变换

射影空间

仿射概形

术语翻译

仿射空间英文 affine space德文 affiner Raum (m)法文 espace affine (m)