仿射空间
仿射空间是几何学中的重要对象. 直观地说, 仿射空间就是像向量空间一样的空间, 只是我们忘掉哪里是原点, 这样所有点看起来都一样. 例如, Euclid 几何就是 上的仿射空间 中的几何.
零维仿射空间是单点空间. 一维、二维的仿射空间分别称为仿射直线、仿射平面.
1定义
一般定义
定义 1.1 (仿射空间). 设 是域. 则 上的仿射空间是 上某个向量空间的自由齐性空间. 也就是说, 向量空间 上的仿射空间是二元组 , 其中 是集合, 是映射, 满足条件
• | 它是群作用, 即对任意 , , . |
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此时 中元素称为仿射空间的点, 称为点 沿向量 的平移. 另外, 有时也说 是向量空间 上的仿射空间.
定义 1.2 (拓扑、几何结构). 如果 上有某个被平移保持的结构, 例如 上的拓扑结构、微分流形结构或 Riemann 流形结构等, 则对其上仿射空间 中任意一点 , 诱导了 上的相应结构, 且此结构不依赖于 的选取.
作为概形
在代数几何中, “仿射空间” 一词具有略微不同的含义: 我们只将仿射空间视作概形, 而忽略其上的齐性空间结构.
2相关概念
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术语翻译
仿射空间 • 英文 affine space • 德文 affiner Raum (m) • 法文 espace affine (m)