Grothendieck 谱序列

Grothendieck 谱序列是同调代数中的结论, 它将函子的复合的导出用由导出函子的复合构成的谱序列表示.

1定理陈述

定理 1.1 (Grothendieck 谱序列). 设 $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ 是 Abel 范畴, $G:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, $F:\mathcal{B}\to \mathcal{C}$ 是左正合函子, 满足 $G$ 把内射对象打到 $F$-零调对象, 则有谱序列$$E_2^{pq}=(R^{p}F)\circ (R^{q}G)\Rightarrow R^{p+q}(F\circ G)$$对偶地, 对右正合函子, 类似事实也成立.

证明. (...)

$\square$

2例子

例 2.1. 对拓扑空间 (一般地, 景) $X,Y$ 和态射 $f:X\to Y$ 在上述定理中取 $\mathcal{A}=\mathsf{Ab}(X)$, $\mathcal{B}=\mathsf{Ab}(Y)$ (即相应空间上的 Abel 群层), $\mathcal{C}=\mathsf{Ab}$ (即 Abel 群范畴), $G=f_{\ast }$ 为推出层函子, $F={\Gamma }_Y$ 为整体截面函子, 则 $F\circ G={\Gamma }_X$. 由上述定理, 对层 $\mathcal{F}$, 有谱序列$$E_2^{pq}=H^p(Y,R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H^p(X,\mathcal{F}).$$当 $\mathcal{F}$ 取为群 $G$ 系数常值层, $f$ 为 Serre 纤维化, 即得到了 Serre 谱序列.

术语翻译

Grothendieck 谱序列 • 英文 Grothendieck spectral sequence • 德文 Grothendieck-Spektralfolge • 法文 suite spectrale de Grothendieck