谱序列

谱序列是同调代数中计算同调群的重要手段. 它往往从一个粗糙的估计开始, 渐次逼近想要计算的同调群.

1定义

定义 1.1. 固定 Abel 范畴 $\mathcal{A}$. $\mathcal{A}$ 中上同调谱序列指如下数据:

•	自然数 $r_0$.
•	对每个整数 $r\ge r_0$, 整数 $p,q$, 一个 $E_r^{p,q}\in \mathcal{A}$, 以及它们之间的边缘映射 $d_r=d_r^{p,q}:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$, 满足 $d_r^2=0$. 数据 $(E_r,d_r)$ 称为谱序列的第 $r$ 页. 这里 $p+q$ 称为总次数, 边缘映射总把总次数增加 $1$.
•	对每个整数 $r\ge r_0$, 整数 $p,q$, 一个同构 $E_{r+1}^{p,q}\cong H_r^{p,q}$, 其中$$H_r^{p,q}=\frac{\ker (d_r^{p,q}:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1})}{\mathrm{im}(d_r^{p-r,q+r-1}:E_r^{p-r,q+r-1}\to E_r^{p,q})}.$$

通常将其记作 $\{E_r{\}}_{r\ge r_0}$ 或 $\{E_r^{p,q}{\}}_{r\ge r_0}$, 或者简作 $E_{r_0}$ 或 $E_r$ 或 $E_r^{pq}$. 谱序列 $E_r$ 到 $E_r^{\prime }$ 的态射指的是与二者的边缘映射以及同构 $E_{r+1}^{p,q}\cong H_r^{p,q}$ 都对应交换的一族同态 $E_r^{p,q}\to {E^{\prime }}_r^{p,q}$.

$\mathcal{A}$ 中同调谱序列指类似的数据 $\{E_{p,q}^r{\}}_{r\ge r_0}$, 满足 ${E^{\prime }}_r^{p,q}=E_{-p,-q}^r$ 构成上同调谱序列. 也就是说, 同调谱序列也是这样一族对象、映射、同构, 只不过边缘映射为 $d^r:E_{p,q}^r\to E_{p-r,q+r-1}^r$.

定义 1.2 (收敛). 称谱序列 $\{E_r^{p,q}\}$ 收敛, 指对任意 $p,q\in \mathbb{Z}$, 存在 $R(p,q)\ge r_0$, 使得对任意 $r\ge R(p,q)$, $d_r^{p,q}=d_r^{p-r,q+r-1}=0$. 于是 $r\ge R(p,q)$ 对应的对象 $E_r^{p,q}$ 都同构, 记作 $E_{\infty }^{p,q}$. 此时称 $\{E_r^{p,q}\}$ 收敛到 $\{E_{\infty }^{p,q}\}$, 记作 $E_r^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}$.

如 $\mathcal{A}$ 中一列对象 $\{H^n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 都带有穷竭滤链$$\cdots \supseteq F^{p-1}{H}^n\supseteq F^p{H}^n\supseteq F^{p+1}{H}^n\supseteq \cdots$$且对任意 $p,q$ 有 $E_{\infty }^{p,q}\cong F^p{H}^{p+q}/F^{p+1}{H}^{p+q}$, 则也称 $\{E_r^{p,q}\}$ 收敛到 $\{H^n\}$, 记作 $E_r\Rightarrow H^n$ 或 $E_r^{pq}\Rightarrow H^{p+q}$. 实践中滤链基本会是有限的, 即对任意 $n\in \mathbb{Z}$ 都有对 $p\gg 0$, $F^p{H}^n=0$, $F^{-p}{H}^n=H^n$.

同调谱序列也有一样的概念, 但滤链方向与上同调相反, 为上升滤链, 即子对象随指标变大而变大.

定义 1.3 (退化). 称谱序列 $\{E_r^{p,q}\}$ 在第 $r$ 页退化, 指对任意 $r^{\prime }\ge r$ 以及任意 $p,q$ 都有 $d_r^{p,q}=0$. 换言之其收敛, 且 $E_{\infty }^{p,q}=E_r^{p,q}$ 对每个 $p,q$.

定义 1.4 (象限). 如对象 $E_r^{p,q}$ 只在 $(p,q)$ 属于某一固定象限时非零, 则称谱序列为对应象限谱序列. 比如第一象限谱序列就是对 $p<0$, $q<0$ 都有 $E_r^{p,q}=0$. 同调谱序列也一样.

定义 1.5 (乘法结构). 设 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 带有幺半结构 $\otimes$. 谱序列 $E_r$ 的乘法结构指的是对每个 $r\ge r_0$, $p,q,p^{\prime },q^{\prime }\in \mathbb{Z}$ 给定乘法$$E_r^{p,q}\otimes E_r^{p^{\prime },q^{\prime }}\to E_r^{p+p^{\prime },q+q^{\prime }},$$满足对 $a\in E_r^{p,q}$, $b\in E_r^{p^{\prime },q^{\prime }}$, $$d_r(ab)=(d_{r}a)b+(-1{)}^{p+q}a(d_{r}b),$$且第 $r+1$ 页的乘法与第 $r$ 页同调上的乘法一致. 换言之, $E_r={⨁}_{p,q}{E}_r^{p,q}$ 关于总次数构成微分分次代数, 且 $E_{r+1}$ 的代数结构与 $E_r$ 的上同调代数一致. 如 $(\mathcal{A},\otimes )$ 为对称幺半, 且$$ba=(-1{)}^{(p+q)(p^{\prime }+q^{\prime })}ab,$$则称此乘法结构交换. 换言之, $E_r$ 都是交换的微分分次代数. 带乘法结构谱序列之间的态射有显然的定义.

设 $\mathcal{A}$ 中一列过滤对象 $\{F^p{H}^n{\}}_{p,n\in \mathbb{Z}}$ 也带有乘法结构 $H^n\otimes H^{n^{\prime }}\to H^{n+n^{\prime }}$, 且与滤链相容, 即 $(F^p{H}^n)(F^{p^{\prime }}{H}^{n^{\prime }})\subseteq F^{p+p^{\prime }}{H}^{n+n^{\prime }}$. 如 $E_r\Rightarrow H^n$ 且 $H^n$ 乘法结构自然诱导的分次对象 $\{F^p{H}^n/F^{p+1}{H}^n{\}}_{p\in \mathbb{Z}}$ 的乘法与 $E_{\infty }^{p,q}$ 的乘法相同, 则称此谱序列收敛保持乘法.

2构造方法

谱序列有几种一般的构造方法.

滤复形

用滤复形构造谱序列, 兼具一般性及直观. 从中大致可以看到谱序列的 “逼近” 过程. 所谓滤复形, 指的是链复形 $\{C^n,d^n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$, 对每个 $n$ 附带滤链$$\cdots \supseteq F^{p-1}{C}^n\supseteq F^p{C}^n\supseteq F^{p+1}{C}^n\supseteq \cdots$$满足滤链与边缘映射相容, 即 $d(F^p{C}^n)\subseteq F^p{C}^{n+1}$. 我们假设滤链有界, 即对每个 $n$ 都有 $p\gg 0$ 时 $F^p{C}^n=0$, $F^{-p}{C}^n=C^n$, 来构造谱序列 $\{E_r^{p,q}{\}}_{r\ge 0}$, 满足 $E_0^{p,q}=F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}$ 为分次复形的链群, $E_1^{p,q}=H^{p+q}(F^p{C}^{\bullet }/F^{p+1}{C}^{\bullet })$ 为分次复形的同调群, 且它最终收敛到 $H^n(C^{\bullet })$. 以下将 $Z^n(C^{\bullet })$, $B^n(C^{\bullet })$, $H^n(C^{\bullet })$ 分别记作 $Z^n$, $B^n$, $H^n$. 下面这一段建议读者仅看 $E_r^{p,q}$ 的定义, 而自己验证之后的事情, 因为只是看我做一遍, 不论我写得多详细, 也很难理解个中奥妙.

对 $0\le r\le \infty$, 定义 $A_r^p=F_{p}C\cap d^{-1}(F^{p+r}C)$, $Z_r^p=\mathrm{im}(A_r^p\to F^{p}C/F^{p+1}C)$, $B_r^p=\mathrm{im}(d(A_{r-1}^{p-r+1})\to F^{p}C/F^{p+1}C)$, 详细写出来为$$A_r^{p,q}=\{x\in F^p{C}^{p+q}\mid dx\in F^{p+r}{C}^{p+q+1}\}\subseteq F^p{C}^{p+q},$$$$Z_r^{p,q}=\{\bar{x}\in F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}\mid dx\in F^{p+r}{C}^{p+q+1}\}\subseteq F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q},$$$$B_r^{p,q}=\{\bar{x}\in F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}\mid \exists y\in F^{p-r+1}{C}^{p+q-1},\overline{dy}=\bar{x}\}\subseteq F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q},$$大体上即 $F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}$ 中那些 “$d$ 之后前进 $r$ 格” 以及 “从后退 $r-1$ 格处 $d$ 来” 的元素. (此处求一位画图大师插个示意图.) 因 $d^2=0$, 有 $B_r^{p,q}\subseteq Z_r^{p,q}$. 令$$E_r^{p,q}=Z_r^{p,q}/B_r^{p,q}=\frac{A_r^{p,q}+F^{p+1}{C}^{p+q}}{d(A_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})+F^{p+1}{C}^{p+q}}=\frac{A_r^{p,q}}{d(A_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})+A_{r-1}^{p+1,q-1}}.$$由于 $r\gg 0$ 时 $F^{p+r}{C}^{p+q}=0$, $F^{p-r+1}{C}^{p+q-1}=C^{p+q-1}$, 有 $r\gg 0$ 时 $A_r^{p,q}$, $Z_r^{p,q}$, $B_r^{p,q}$, $E_r^{p,q}$ 都不再随 $r$ 变化, 且$$Z_{\infty }^{p,q}=\mathrm{im}(Z^{p+q}\cap F^p{C}^{p+q}\to F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}),$$$$B_{\infty }^{p,q}=\mathrm{im}(B^{p+q}\cap F^p{C}^{p+q}\to F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q}),$$$$E_{\infty }^{p,q}=\frac{\mathrm{im}(Z^{p+q}\cap F^p{C}^{p+q}\to F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q})}{\mathrm{im}(B^{p+q}\cap F^p{C}^{p+q}\to F^p{C}^{p+q}/F^{p+1}{C}^{p+q})}.$$以 $F^p{H}^n$ 记那些可由 $F^p{C}^n$ 中元素代表的上同调类组成的子模, 则 $\{F^p{H}^n{\}}_{p\in \mathbb{Z}}$ 构成 $H^n$ 的有限滤链, 且 $E_{\infty }^{p,q}=F^p{H}^{p+q}/F^{p+1}{H}^{p+q}$. 这些 $E_r^{p,q}$ 就是我们的谱序列中的对象.

尚需指定边缘映射以及每一页的同调和下一页的对象之间的同构. 由于$$E_r^{p,q}=\frac{A_r^{p,q}}{d(A_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})+A_{r-1}^{p+1,q-1}},$$可直接令 $d_r=d_r^{p,q}:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ 为由 $d:C^{p+q}\to C^{p+q+1}$ 诱导的映射; 依定义 $d$ 会把分子分母映射到对应的分子分母里面, 且由 $d^2=0$ 自然有 $d_r^2=0$. 现在$$H_r^{p,q}=\frac{\ker (d_r^{p,q})}{\mathrm{im}(d_r^{p-r,q+r-1})}=\frac{A_r^{p,q}\cap d^{-1}(d(A_{r-1}^{p+1,q-1})+A_{r-1}^{p+r+1,q-r})}{d(A_r^{p-r,q+r-1})+d(A_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})+A_{r-1}^{p+1,q-1}};$$由于 $A_r^{p-r,q+r-1}\supseteq A_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}$, 分母就是 $d(A_r^{p-r,q+r-1})+A_{r-1}^{p+1,q-1}$, 商去 $A_{r-1}^{p+1,q-1}$ 之后为$$\frac{d(A_r^{p-r,q+r-1})}{d(A_r^{p-r,q+r-1})\cap A_{r-1}^{p+1,q-1}}=\frac{d(A_r^{p-r,q+r-1})}{d(A_r^{p-r,q+r-1})\cap F^{p+1}{C}^{p+q}}=B_{r+1}^{p,q};$$而分子商去 $A_{r-1}^{p+1,q-1}$ 之后为$$\frac{A_r^{p,q}}{A_{r-1}^{p+1,q-1}}\cap \frac{d^{-1}(d(A_{r-1}^{p+1,q-1})+A_{r-1}^{p+r+1,q-r})}{A_{r-1}^{p+1,q-1}}=Z_r^{p,q}\cap \frac{d^{-1}(A_{r-1}^{p+r+1,q-r})}{d^{-1}(A_{r-1}^{p+r+1,q-r})\cap A_{r-1}^{p+1,q-1}}=Z_r^{p,q}\cap \frac{d^{-1}(F^{p+r+1}{C}^{p+q+1})}{d^{-1}(F^{p+r+1}{C}^{p+q+1})\cap F^{p+1}{C}^{p+q+1}}=Z_r^{p,q}\cap Z_{r+1}^{p,q}=Z_{r+1}^{p,q};$$所以$$H_r^{p,q}\cong \frac{Z_{r+1}^{p,q}}{B_{r+1}^{p,q}}=E_{r+1}^{p,q}.$$于是 $\{E_r^{p,q}{\}}_{r\ge 0}$ 是谱序列, 且由上一段结尾的分析, 有 $E_r^{pq}\Rightarrow H^{p+q}(C^{\bullet })$. 容易验证 $E_0$ 和 $E_1$ 确如前述.

如 $C^{\bullet }$ 带有乘法结构, 即它是微分分次代数, 且与滤链相容, 即满足 $F^p{C}^{\bullet }\cdot F^{p^{\prime }}{C}^{\bullet }\subseteq F^{p+p^{\prime }}{C}^{\bullet }$, 则容易发现以上谱序列也具有乘法结构, 且谱序列收敛 $E_r^{pq}\Rightarrow H^{p+q}(C^{\bullet })$ 保持乘法.

这一构造显然具有函子性, 即对复形映射 $f:C^{\bullet }\to C^{\prime \bullet }$ 以及相容的滤链, 即满足 $f(F^p{C}^{\bullet })\subseteq F^p{C}^{\prime \bullet }$, 作出的谱序列之间也有映射 $E_r^{pq}\to {E^{\prime }}_r^{pq}$. 如两个滤复形都具有乘法结构而 $f$ 保持乘法, 则谱序列映射也保持乘法.

正合偶

双复形

稳定 $\infty$-范畴中的滤对象

3性质

低阶项正合列

设有第一象限谱序列 $E_r^{pq}$ 收敛到 $H^{p+q}$. 则 $p,q,r$ 较小的项可整理成几个正合列.

命题 3.1. 以下序列正合: $$0\to H^0\to E_1^{0,0}\to E_1^{1,0}$$$$0\to E_2^{1,0}\to H^1\to E_2^{0,1}\to E_2^{2,0}\to H^2$$

证明. 由于 $E_r^{pq}$ 在第一象限, 即 $p<0$ 或 $q<0$ 时 $E_r^{p,q}=0$, 有 $H^0=E_{\infty }^{0,0}=\ker (d_1:E_1^{0,0}\to E_1^{1,0})$, 得第一个正合列. $H^1$ 的滤链只有两项, 可写成短正合列$$0\to E_{\infty }^{1,0}\to H^1\to E_{\infty }^{0,1}\to 0;$$而 $E_{\infty }^{1,0}=E_2^{1,0}$, $E_{\infty }^{0,1}=\ker (d_2:E_2^{0,1}\to E_2^{2,0})$, 然后 $\mathrm{coker}(d_2:E_2^{0,1}\to E_2^{2,0})=E_{\infty }^{2,0}$ 又是 $H^2$ 滤链的最后一项, 故有第二个正合列.

$\square$

超渡

4例子

5应用

6相关概念

7参考文献

•	Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer.

此书首先从正合偶出发构造谱序列, 由此推出滤复形和双复形的谱序列. 之后它给出了谱序列在拓扑学中的许多应用.

•	Charles Weibel (1994). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press.

此书直接从滤复形构造谱序列, 并对滤链无界情形的收敛情况作了些讨论, 尔后介绍了谱序列在代数中的许多应用.

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra.

此书的 1.2.2 节给出从稳定 $\infty$-范畴中的滤对象得到谱序列的方法.

术语翻译

谱序列 • 英文 spectral sequence • 德文 Spectralsequenz • 法文 suite spectrale • 拉丁文 sequentia spectralis