滤链

滤链指模里一列嵌套的子模, 犹如其中元素被一层层过滤. 此概念可推广到一般的 Abel 范畴以及稳定无穷范畴上.

1定义

定义 1.1 (滤链、滤对象). 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $M$ 是其对象. $M$ 上的滤链指 $M$ 的形如$$\cdots \subseteq F_{-1}M\subseteq F_{0}M\subseteq F_{1}M\subseteq \cdots$$的子模列. $\mathcal{A}$ 中滤对象 $F_{\bullet }M$ 指的是对象 $M$ 附带一条滤链 $F_{\bullet }M$. 此时将 $M$ 称为滤对象 $F_{\bullet }M$ 的底对象.

注 1.2. 有时也将滤链记作$$\cdots \subseteq F^{1}M\subseteq F^{0}M\subseteq F^{-1}M\subseteq \cdots$$需要区分时把用这个记号者称为下降滤链, 用定义 1.1 中记号者称为上升滤链.

定义 1.3 (同态). Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的滤对象 $F_{\bullet }M$ 到 $F_{\bullet }N$ 的同态指的是 $\mathcal{A}$ 中同态 $f:M\to N$, 使得 $f(F_{i}M)\subseteq F_{i}N$, 对任意 $i\in \mathbb{Z}$. 如 $f^{-1}(F_{i}N)=F_{i}M$, 则称 $f$ 为严格同态. $\mathcal{A}$ 的滤对象关于同态构成范畴, 记作 $\mathsf{Fil}(\mathcal{A})$, 它一般不是 Abel 范畴.

定义 1.4 (结合分次对象). 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 对 $F_{\bullet }M\in \mathsf{Fil}(\mathcal{A})$, 它的分次对象, 或称它的结合分次对象, 指的是在 $i\in \mathbb{Z}$ 处是 $F_{i}M/F_{i-1}M$ 的 $\mathbb{Z}$-分次对象 (对下降滤链则是 $F^{i}M/F^{i+1}M$). 显然这给出函子 $\mathsf{Fil}(\mathcal{A})\to {\mathsf{Gr}}_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A})$.

定义 1.5 (有界、穷竭、分离、完备). 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $F_{\bullet }M\in \mathsf{Fil}(\mathcal{A})$. 称 $F_{\bullet }M$ 为:

上有界,	指存在 $n\in \mathbb{N}$, $F_{n}M=M$.
下有界,	指存在 $n\in \mathbb{N}$, $F_{-n}M=0$.
有界,	指其上有界且下有界.
穷竭,	指 ${\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{F}_{n}M=M$.
分离,	指 ${\lim }_{n\in \mathbb{N}}{F}_{-n}=0$.
完备,	指 ${\lim }_{n\in \mathbb{N}}{F}_{0}M/F_{-n}M=F_{0}M$.

显然, 上有界推出穷竭, 下有界推出完备推出分离.

定义 1.6 (共尾). 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $M$ 是其对象, $F_{\bullet }M,G_{\bullet }M$ 是 $M$ 上两条滤链. 称它们上共尾, 指的是对任意 $n\in \mathbb{N}$, 存在 $m>n$, 使得 $F_{m}M\supseteq G_{n}M$, $G_{m}M\supseteq F_{n}M$, 下共尾类似. 当它们在同一个方向有界时, 说它们共尾指的是在另一个方向共尾.

2例子

•	设 $R$ 是环, $I$ 是其理想, $M$ 是 $R$-模. 则 $I^{\bullet }M$ 构成 $M$ 的下降滤链, 这里 $I^{-n}M$ 定义为 $M$, 对 $n\in \mathbb{N}$. 于是它上有界. 依定义它分离、完备当且仅当 $M$ 关于 $I$ 分离、完备.
•	设 $R$ 是交换环, $M$ 是 $R$-模, $r\in R$. 则 $r^{\bullet }M$ 在局部化 $M_r$ 中的像构成 $M_r$ 的下降滤链. 由局部化的定义它总是穷竭, 但就未必分离, 更不用说完备.

3推广

把滤链推广到稳定无穷范畴上, 所得概念倒是更自然些.

定义 3.1 (滤链). 设 $\mathcal{C}$ 是稳定无穷范畴, $M$ 是其对象. $M$ 上的滤链指形如$$\cdots \to F_{-1}M\to F_{0}M\to F_{1}M\to \cdots$$的对象列以及对每个 $i\in \mathbb{Z}$ 一个映射 $F_{i}M\to M$, 使相关的三角形图表都交换.

注 3.2. 和注 1.2 中一样, 有时也采用记号$$\cdots \to F^{1}M\to F^{0}M\to F^{-1}M\to \cdots$$称为下降滤链, 定义 3.1 中记号称为上升滤链.

定义 3.3 (有界、穷竭、完备). 设 $\mathcal{C}$ 是稳定无穷范畴, $M$ 是其对象. 称 $M$ 上的滤链 $F_{\bullet }M$ 为:

上有界,	指存在 $n\in \mathbb{N}$, $F_{n}M=M$.
下有界,	指存在 $n\in \mathbb{N}$, $F_{-n}M=0$.
有界,	指其上有界且下有界.
穷竭,	指 ${\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{F}_{n}M=M$.
完备,	指 ${\lim }_{n\in \mathbb{N}}{F}_{-n}M=0$.

注 3.4. 由于无穷范畴中的极限包含了经典的 ${\lim }^1$ 信息, 故条件 ${\lim }_{n\in \mathbb{N}}{F}_{-n}M=0$ 就直接是完备, 而没有分离和完备的区分.

在稳定无穷范畴情形, 滤对象这一概念的约定和 Abel 范畴时略有不同.

定义 3.5 (滤对象). 稳定无穷范畴 $\mathcal{C}$ 上的滤对象指其对象列$$\cdots \to F_{-1}M\to F_{0}M\to F_{1}M\to \cdots$$亦即无穷范畴 $\mathsf{Fun}(\mathbb{Z},\mathcal{C})$ 的对象, 其中 $\mathbb{Z}$ 按自然偏序视为范畴. 定义 $\mathsf{Fil}(\mathcal{C})=\mathsf{Fun}(\mathbb{Z},\mathcal{C})$ 为滤对象构成的范畴, 其显然也是稳定无穷范畴. (当然这是上升滤对象, 下降的则是 $\mathsf{Fun}({\mathbb{Z}}^{\text{op}},\mathcal{C})$.) 对滤对象 $F_{\bullet }M$, 其底对象指的是 ${\mathrm{colim}}_{n\in \mathbb{N}}{F}_{n}M$, 其分次对象指的是在 $i\in \mathbb{Z}$ 处为 $\mathrm{cofib}(F_{i-1}M\to F_{i}M)$ 的 $\mathbb{Z}$-分次对象. 这两个构造显然都有函子性.

注 3.6. 于是滤对象无所谓穷竭, 而只有有界和完备. 常以 $\widehat{\mathsf{Fil}}(\mathcal{C})$ 记 $\mathsf{Fil}(\mathcal{C})$ 中完备者构成的满子范畴, 则它也是稳定无穷范畴, 且含入函子有左伴随, 称为完备化.

注 3.7. 对于导出范畴的滤对象, 常以 $\mathsf{DF}(-)$ 简记 $\mathsf{Fil}(\mathsf{D}(-))$, 以 $\widehat{\mathsf{DF}}(-)$ 简记 $\widehat{\mathsf{Fil}}(\mathsf{D}(-))$.

以下命题是滤对象的代数叠刻画.

命题 3.8. $\mathsf{DF}(\mathbb{Z})=\mathsf{D}({\mathbb{A}}^1/{\mathbb{G}}_m)$.

4相关概念

•	分次对象
•	Day 卷积

术语翻译

滤链 • 英文 filtration • 德文 Filtrierung (f) • 法文 filtration (f) • 拉丁文 filtratio (f) • 古希腊文 διήθησις (f)

滤对象 • 英文 filtered object • 德文 filtriertes Objekt • 法文 objet filtré • 拉丁文 objectum filtratum • 古希腊文 ἠθούμενον ἀντικείμενον

结合分次对象 • 英文 associated graded object • 德文 assoziiertes graduiertes Objekt • 法文 objet gradué associé • 拉丁文 objectum graduatum associatum

穷竭 (形容词) • 英文 exhaustive • 德文 erschöpfend • 法文 exhaustif • 拉丁文 exhaustus

分离 (形容词) • 英文 separated • 德文 separat • 法文 séparé • 拉丁文 separatus

完备 (形容词) • 英文 complete • 德文 vollständig • 法文 complet • 拉丁文 completus