族

族是与集合类似的概念. 在数学中, 常需要谈论 “一族对象”, 例如 “一族集合的 Descartes 积”、“一族向量空间的直和” 等等. 但在集合中, 元素无法重复出现, 因为重复的元素视为相同的元素. 因此, 族与集合并不是相同的概念, 在族中需要允许相同的元素出现. 例如, $(1,2,2,1)$ 是一族整数, 有 $4$ 个元素.

严格来说, 对某个集合 $X$ 而言, $X$ 中的一族元素是从某个集合 $I$ 到 $X$ 的映射. 这族对象常常记为$$(x_i{)}_{i\in I},$$这里 $x_i\in X$ 是该映射将 $i$ 映到的元素. 集合 $I$ 称为指标集, 其元素称为指标.

1定义

定义 1.1 (族). 设 $X$ 为集合或类, $I$ 为集合. 则 $X$ 中以 $I$ 为指标集的一族元素是指映射 $I\to X$, 记为$$(x_i{)}_{i\in I},$$这里 $x_i\in X$ 是该映射将 $i$ 映到的元素.

例如, 若 $X$ 是所有集合的类, 则 $X$ 中的族为集族, 等等.

2相关概念

•	族纤维化
•	归纳族

术语翻译

族 • 英文 family

指标 • 英文 index