代数模式

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

代数模式是高阶代数中的基本概念, 是 $\infty$-算畴的推广, 使之不局限于输入多个对象、输出一个对象的模式, 故而不仅涵盖结合代数、交换代数, 也涵盖了范畴等代数结构.

1定义

代数模式的定义主要使用分解系统的概念, 故此先回顾分解系统的定义.

定义 1.1 (分解系统). 范畴 $\mathcal{C}$ 的分解系统指其一对子范畴 $({\mathcal{C}}^L,{\mathcal{C}}^R)$, 其中二者都包含全部的对象, 且对 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f:x\to y$, 空间$$\{(g:x\to z,h:z\to y)\mid g\in {\mathcal{C}}^L,h\in {\mathcal{C}}^R,h\circ g=f\}$$为可缩.

注 1.2. 范畴 $\mathcal{C}$ 的子范畴指 $(-1)$-截断的函子 $\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, 即其满足在对象空间上为 $(-1)$-截断, 且对任意 $x,y\in \mathcal{D}$, 映射空间的映射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(x,y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)$ 也为 $(-1)$-截断.

定义 1.3 (代数模式). 代数模式指 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{O}$ 附带分解系统 $({\mathcal{O}}^{惰},{\mathcal{O}}^{活})$ 以及 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 的满子范畴 ${\mathcal{O}}^{初}$. ${\mathcal{O}}^{惰}$、${\mathcal{O}}^{活}$ 中的映射分别称为惰性映射、活性映射, ${\mathcal{O}}^{初}$ 中的对象称为初等对象.

下面定义关于某代数模式的代数. 此处承参考文献使用 “Segal 对象” 的名称, 实际上 Segal $\mathcal{O}$-对象表达的就是 $\mathcal{O}$-代数的概念.

定义 1.4 (Segal 对象). 设 $\mathcal{O}$ 是代数模式, $\mathcal{C}$ 是范畴. $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象指函子 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$, 满足对任意 $o\in \mathcal{O}$, $X$ 把图表 $o\to {\mathcal{O}}_{o/}^{初}$ 打到极限图表, 换言之$$X(o)=\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }X(e).$$

以下概念推广了 $\infty$-算畴理论中的 $\mathcal{O}$-幺半范畴.

定义 1.5 (Segal 纤维化). 设 $\mathcal{O}$ 是代数模式. 称函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{O}$ 为 Segal 纤维化, 指其首先是余笛卡尔纤维化, 其次其直化 $\mathcal{O}\to \mathsf{Cat}$ 是 Segal $\mathcal{O}$-范畴, 即 $\mathsf{Cat}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象. 此时 $\mathcal{E}$ 自然带有 $\mathcal{O}$ 上代数模式结构如下:

•	取 ${\mathcal{E}}^{惰}$ 为 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 上的余笛卡尔映射;
•	取 ${\mathcal{E}}^{活}$ 为 ${\mathcal{O}}^{活}$ 上的映射;
•	取 ${\mathcal{E}}^{初}$ 为 ${\mathcal{O}}^{初}$ 在 ${\mathcal{E}}^{惰}$ 中的原像.

此时如 $\mathcal{P}\to \mathcal{O}$ 是 $\mathcal{O}$ 上的代数模式, 则可定义 Segal $\mathcal{O}$-范畴 $\mathcal{E}$ 上的 $\mathcal{P}$-代数为 $\mathcal{O}$ 上的代数模式映射 $\mathcal{P}\to \mathcal{E}$.

2例子

•	最基本的例子为带基点有限集范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 在此出于直观将其视为有限集部分映射范畴. 取惰性映射为 “缩减定义域”, 活性映射为定义域是全部的映射, 初等对象为单点集. 则其 Segal 对象就是交换代数, Segal 纤维化就是对称幺半范畴.

•	$\infty$-算畴 $\mathcal{O}$ 给出 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上的代数模式 $\mathcal{O}\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$. 此时定义 1.5 给出对称幺半范畴中 $\mathcal{O}$-代数的概念.

•	考虑有限全序集范畴 (即单形范畴) 的反范畴 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$. 取惰性映射为区间含入, 活性映射为保持最小元与最大元的映射. 如取初等对象为二元集, 则其 Segal 对象就是结合代数; 如取初等对象为一元集与二元集, 则其 Segal 对象就是所谓 Segal 空间的推广, 或称内 $(\infty ,1)$-范畴.

3参考文献

•	Hongyi Chu, Rune Haugseng (2021). “Homotopy-coherent algebra via Segal conditions”. Advances in Mathematics 385, 107733. (doi) (web)

•	Shaul Barkan, Rune Haugseng, Jan Steinebrunner (2022). “Envelopes for Algebraic Patterns”. arXiv: 2208.07183 [math.CT].

术语翻译

代数模式 • 英文 algebraic pattern

惰性映射 • 英文 inert map

活性映射 • 英文 active map

初等对象 • 英文 elementary object