Coxeter 群

Coxeter 群是一类群, 它由一些反射生成, 各个反射之间满足一定的关系 (定义 1.1).

Coxeter 群可以用来描述高度对称的几何体 (例如正多胞体) 的对称性 (命题 2.3), 也可以作为 Weyl 群的抽象与推广, 来研究半单 Lie 代数 (更一般的, Kac–Moody 代数) 的性质.

1定义

定义 1.1. Coxeter 群是由生成元 $S=\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}$ 和关系 $\{(r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1\}$ 生成的群. 其中$$m_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 2,3,4,\dots ,\infty & i\ne j\end{array}$$($m_{ij}=\infty$ 表示没有这条关系).

此群一般被记为 $W$, 或 $(W,S)$. 有时 $(W,S)$ 也称为 Coxeter 系.

注 1.2. 在上述定义中, 这些 $r_i$ 可以视为相对某个超平面的反射, 此时 $r_i$ 与 $r_j$ 对应的超平面的法向量的夹角为 $\frac{\pi }{m_{ij}}$.

定义 1.3. Coxeter 群可以用 Coxeter 图表示:

•	每个生成元 $r_i$ 对应图中一个点.
•	每条关系 $(r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1$ 对应图中一条边, 并在此边上标上 $m_{ij}$ (如果 $i=j$ 或 $m_{ij}=2$, 一般不画这条边, 如果 $m_{ij}=3$, 省去此边的标注).

例如, 二面体群 $⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^n=1⟩$ 的 Coxeter 图为

2性质

Schläfli 矩阵

定义 2.1. Coxeter 群 $(W,S)$ 的 Schläfli 矩阵为$$(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n},a_{ij}=-2\cos \frac{\pi }{m_{ij}}.$$

Schläfli 矩阵的性质反映了群的信息, 例如:

命题 2.2. 对 Coxeter 群 $(W,S)$,

•	若其 Schläfli 矩阵的特征值均为正, 则此 Coxeter 群是有限群. 它可以实现为反射群, 特别地, 它是正交群 $\mathrm{O}(n)$ 的离散子群. 此时称它为有限型的.
•	若其 Schläfli 矩阵的特征值均为非负, 此 Coxeter 群是有限群与 ${\mathbb{Z}}^m$ 的半直积, 可以实现为 (反射面未必过原点的) 反射群, 特别地, Euclid 群 $\mathrm{E}(n-1)$ 的离散子群. 此时它称为仿射型的.
•	若其 Schläfli 矩阵的特征值有一个负值, 此 Coxeter 群可以被实现为双曲空间 ${\mathbb{H}}^{n-1}$ 的等距同构群的子群 (同样由反射生成), 称为双曲型的.

有限 Coxeter 群的分类

通过上述 Schläfli 矩阵的性质, 可分类有限 Coxeter 群.

命题 2.3. 所有对应有限 Coxeter 群的连通 Coxeter 图如下:

•	$A_n$ ($n\ge 1$) 相应 Coxeter 群同构于置换群 ${\mathfrak{S}}_{n+1}$, 而生成元 $r_i$ 对应于对换 $(ii+1)$, 同时此群也是 $n$-单形的对称群.
•	$B{C}_n$ ($n\ge 2$) 它是 $n$-正交形和 $n$-立方体的对称群.
•	$D_n$ ($n\ge 4$)
•	$E_6$
•	$E_7$
•	$E_8$
•	$F_4$ 它是正二十四胞体的对称群.
•	$G_2$ 它对应二面体群 $D_6$, 或者说正六边形的对称群.
•	$H_3$ 它对应正十二面体和正二十面体的对称群.
•	$H_4$ 它对应正一百二十胞体和正六百胞体的对称群.
•	$I_2(n)$ ($n\ne 3,4,6,n\ge 5$) 它对应二面体群 $D_n$, 或者说正 $n$ 边形的对称群.

仿射 Coxeter 群的分类

(...)

长度与偏序

定义 2.4. Coxeter 群上的长度函数为$$\ell :W\to \mathbb{N},w\mapsto \min \{m\mid \exists i_1,\dots ,i_m,r_{i_1}\cdots r_{i_m}=w\}.$$

命题 2.5. 映射 $W\to \{\pm 1\}$,  $w\mapsto (-1{)}^{\ell (w)}$ 是群同态.

命题 2.6 (交换条件). 如 $s\in S$, $w\in W$ 满足 $\ell (w)\le \ell (sw)$, 则如将 $w$ 写为 $S$ 中元素的乘积$$w=s_1{s}_2\cdots s_n$$则存在 $1\le j\le n$, 满足$$s{s}_1\cdots s_{j-1}=s_1{s}_2\cdots s_j$$反过来, 对任意群 $W$ 和它的一组生成元 $S$, 如果 $S$ 中元素阶均为 2 且上述条件满足, 则 $(W,S)$ 是 Coxeter 群.

定义 2.7. Coxeter 上有一偏序, 称为 Bruhat 偏序, 为由所有 $w<tw$ (其中 $t$ 和某个 $s$ 中元素共轭, $w\in W$ 且 $\ell (w)<\ell (tw)$) 生成的关系.

3例子

•	二面体群 $⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^n=1⟩$ 是 Coxeter 群.
•	作为上一例的推广, 正多胞体的对称群是 Coxeter 群.
•	半单 Lie 代数 (一般地, Kac–Moody 代数) 的 Weyl 群是 Coxeter 群.

4相关概念

•	Weyl 群
•	反射群
•	根系
•	Kac–Moody 代数
•	正多胞体
•	Hecke 代数

术语翻译

Coxeter 群 • 英文 Coxeter group • 德文 Coxeter-Gruppe (f) • 法文 groupe de Coxeter (m)