半单 Lie 代数

半单 Lie 代数是一种特殊的 Lie 代数, 它的结构可以被分类, 其表示被研究得很透彻. 在 Lie 群–Lie 代数对应下, 复半单 Lie 代数的表示对应于单连通紧 Lie 群的表示.

除非特别说明, 我们总假定 是一个特征为 , 上的有限维 Lie 代数. 特征为 的域的情况会对理论的建立产生一些阻碍.

1定义

定义 1.1 (半单 Lie 代数). 有限维 Lie 代数 称为半单的, 如果 单 Lie 代数直和.

半单 Lie 代数也有以下几种等价定义:

Killing 型非退化的 (定理 2.1).

没有非零的 Abel 理想.

没有非零的可解理想.

(即最大可解理想) (定理 2.2).

2性质

定理 2.1 (Cartan 判别法). 是半单的等价于 Killing 型 非退化的.

定理 2.2 (Levi 分解). 存在 的半单子 Lie 代数 使得其中 “” 代表 Lie 代数的半直积.

(...)

3结构

从现在起, 我们假设 上的半单 Lie 代数. 通过对 Cartan 子代数 上作用的研究, 可以得到 的结构. 具体来说, 即是

定理 3.1 (根空间分解). 的 Cartan 子代数 (它一定存在), 那么有 -表示的直和分解那些使得 叫做 关于 , 所有根收集起来记作 , 而相应的空间 叫做根空间. 这些根与根空间满足:

1.

, 则 .

2.

如果 , 则 , 且对 .

3.

同构于 .

现在, 在 上赋予一个双线性型:其中 上的 Killing 形式, 在 Cartan 判别法 (2.1) 下保证的对应, 即 是唯一满足下列性质的 中的元素:可以验证此双线性型在 上是正定的, 这使得 成为一个内积空间. 有了内积结构, 便可以对所有 定义反射 :如果把 的性质抽象出来, 即

.

对任意 , .

对任意 , .

就可以得到 中的一个 (抽象) 根系. 这对复半单 Lie 代数是至关重要的, 因为所有的根系是可以被枚举的, 并且 Serre 定理告诉我们, 根系可以与复半单 Lie 代数对应.

4分类

参见: 根系

复半单 Lie 代数可以分解成单 Lie 代数的直和, 而单 Lie 代数对应于不可约的根系, 不可约的根系对应于连通的 Dynkin 图. 除了五个特殊的例子 外, 剩下的四类 Dynkin 图对应于经典 Lie 代数:

对应于 .

对应于 .

对应于 .

对应于 .

实半单 Lie 代数可以类似地通过 Satake 图来实现.

5表示论

参见: 半单 Lie 代数的表示

是复半单 Lie 代数, 那么它的有限维不可约表示可以被最高权分类, 具体来说:

定理 5.1. 有一个双射

{ 的有限维不可约表示} { 中的支配整权},

给出.

定理 5.2 (Weyl 特征公式). 是最高权为 的不可约表示, 那么其中

Weyl 群.

, 长度.

.

.

从而 上的所有表示也可以被分类, 因为:

定理 5.3 (Weyl). 上有限维表示构成的范畴 半单范畴.

对于某个特定的表示 , 我们想找出它的不可约表示的分解形式, 一个算法是先找出它的特征空间分解, 然后利用 Weyl 特征公式 (定理 5.2) 找出最高权对应的不可约表示 以及相应特征空间的维数, 由完全可约性 (定理 5.3) 知其中 . 对 进行同样的操作, 这个分解将在有限步内停止.

6相关概念

Kac–Moody 代数

紧 Lie 群

Verma 模

根系

Dynkin 图

BGG 消解

范畴 O

术语翻译

半单 Lie 代数英文 semisimple Lie algebra德文 halbeinfache Lie-Algebra法文 algèbre de Lie semi-simple