不可分解模

不可分解模指不能分解为两个的直和的非零模.

1定义

定义 1.1. 上的 (左, 右, 双) 被称为不可分解的, 如果对分解 , 恰有一个为零模.

2性质

命题 2.1. 有限长模均可唯一分解为不可分解模的有限直和. 其中唯一性指即对两个分解 , 存在双射 使 .

命题 2.2. 单模是不可分解模, 反之未必成立.

命题 2.3 (Fitting). 有限长不可分解模的自同态环局部环. 其极大理想是所有幂零的自同态.

注 2.4. 注意这个环不一定是交换环.

证明. 根据 Fitting 引理, 这个模的任一自同态或者幂零, 或者可逆, 两者必居其一. 满足这种性质的环一定是局部环 (参见局部环).

命题 2.5. 有限长度不可分解模的是单模. 反之, 首是单模的模是不可分解模.

3例子

上不可分解模, 其中 为素数, 为正整数.

上三角矩阵环 上的左模 是不可分解模.

群代数 作为自身的左模是不可分解模, 如果 特征 域, .

以上三例中, 除了最简单的情况外, 均给出了不是单模的不可分解模.

4相关概念

单模

Krull–Schmidt 范畴

术语翻译

不可分解模英文 indecomposable module