正形式

正形式是一类复微分形式. 对 $n$ 维复流形 $X$ 而言, $X$ 作为实流形具有典范的定向. 对 $X$ 上的实 $2n$-形式, 可以谈论其在每点是否与该定向相符, 相符的形式就称为正形式. 这样的形式通常视为 $X$ 上的 $(n,n)$-形式. 类似的想法可以用来定义正 $(p,p)$-形式的概念.

1定义

对向量空间

设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间, 它的一组基记作 $z^1,\cdots ,z^n$, $V^{\vee }$ 的对偶基记作 $\mathrm{d}{z}^1,\cdots ,\mathrm{d}{z}^n$.

定义 1.1 (正 $(n,n)$-形式). 复微分形式$$\tau ={\mathrm{i}}^n\mathrm{d}{z}^1\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}^n\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^n$$为 ${\Lambda }^{n,n}{V}^{\vee }$ 中的一非零元素. 可以验证 ${\mathbb{R}}_{>0}\tau$ 不依赖于 $V$ 中基的选取. 称 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}\tau$ 中元素为 正 $(\mathbf{n},\mathbf{n})$-形式.

定义 1.2 (强正形式). 称 $(p,p)$-形式 $\beta \in {\Lambda }^{p,p}$ 为强正的, 如果它可写为如下的形式:$$\beta =\sum _{s=1}^N{r}_s{\mathrm{i}}^p{\alpha }_{s,1}\wedge {\bar{\alpha }}_{s,1}\wedge \cdots \wedge {\alpha }_{s,p}\wedge {\bar{\alpha }}_{s,p}$$其中 ${\alpha }_{s,1},\cdots ,{\alpha }_{s,p}$ 为 $(1,0)$-形式, $r_s\ge 0$.

定义 1.3 (正形式). 称 $(p,p)$-形式 $\gamma \in {\Lambda }^{p,p}$ 为正的, 如果对任一强正的 $(n-p,n-p)$-形式 $\beta$ 都有$$\beta \wedge \gamma \in {\mathbb{R}}_{\ge 0}\tau$$

例 1.4.

•	正的和强正的 $(0,0)$-形式是非负实数 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}$. 正的和强正的 $(n,n)$-形式是典则定向 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}\tau$
•	设 $(a_{i\bar{j}})$ 为非负 Hermite 矩阵, 则 $\alpha =\mathrm{i}{\sum }_{i,j}{a}_{ij}\mathrm{d}{z}^i\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^j$ 为强正 $(1,1)$-形式.

对复流形

2性质

命题 2.1.

1.	正 $(p,p)$-形式和强正 $(p,p)$-形式均为 ${\Lambda }^{p,p}{V}^{\vee }$ 中的闭凸锥, 且这两个凸锥通过如下配对互为对偶: $$\begin{array}{rcl}{\Lambda }^{p,p}{V}^{\vee }\times {\Lambda }^{n-p,n-p}{V}^{\vee }& \to & \mathbb{C}\tau \\ (\beta ,\gamma )& \mapsto & \beta \wedge \gamma \end{array}$$具体来说, $\beta$ 是强正 $(p,p)$-形式当且仅当对所有正 $(n-p,n-p)$-形式 $\gamma$ , 我们有 $\beta \wedge \gamma \ge 0$.
2.	强正形式都是正形式.
3.	正形式都是实形式.
4.	设 $u_1,\cdots ,u_s$ 均为正微分形式, 若它们均为强正的, 则 $u_1\wedge \cdots u_s$ 是强正的, 若它们除了一个之外均为强正的, 则 $u_1\wedge \cdots u_s$ 是正的.

证明.

证明. (1). 记正锥为 $P$, 强正锥为 $S$. 由定义可知 $P=S^{\vee }$, $P=\overline{P}$. 故为证 $S=P^{\vee }$, 只需证 $S=\overline{S}$, 即要证 $S$ 是一闭集. 证明待补充.

(2).

$\square$

命题 2.2.

1.	$(p,p)$-形式 $\gamma$ 是正的当且仅当对 $V$ 的任一复 $p$ 维子空间 $W$, $\gamma {|}_W$ 是 $W$ 上的典则定向形式.
2.	设 $f:V_1\to V_2$ 是两个维数分别为 $n_1,n_2$ 的复线性空间之间的复线性映射, 则对于 $V_2$ 上的强正 (或, 正)$(p,p)$-形式 $\beta$, 我们有 $f^{\ast }\beta$ 是 $V_1$ 上的强正 (或, 正)$(p,p)$-形式.

证明.

证明.

$\square$

命题 2.3. 正的 $(1,1)$-形式 (或, $(n-1,n-1)$-形式) 都是强正的, 且它们与非负 Hermite 矩阵有一一对应.

注 2.4. 具有高余维数的正形式不一定是强正的: 考虑复 $4$ 维的线性空间 $V$ 以及 $(2,0)$ 形式 $\beta =\mathrm{d}{z}^1\wedge \mathrm{d}{z}^2+\mathrm{d}{z}^3\wedge \mathrm{d}{z}^4$. 则$${\mathrm{i}}^{2^2}\beta \wedge \bar{\beta }$$是正的形式. 但它不是强正的: 否则我们有$${\mathrm{i}}^{2^2}\beta \wedge \bar{\beta }={\mathrm{i}}^{2^2}\sum _{i=1}^N{\gamma }_i\wedge {\bar{\gamma }}_i$$其中 ${\gamma }_i$ 可写为两个 $(1,0)$ 形式的外积, 取 $N$ 为最小的这样的数. 我们将上述等式两边视作是 ${\Lambda }^{2,0}V$ 上的 Hermite 矩阵, 则左边矩阵的秩是 1, 而由于 ${\gamma }_i$ 线性无关, 右边矩阵的秩是 $N$. 因此 $N=1$, $\beta =\lambda \gamma$, 这导出矛盾.

命题 2.5. 下述映射$$\begin{array}{rcl}{\Lambda }^{1,1}{V}^{\vee }& \to & {\Lambda }^{n-1,n-1}{V}^{\vee }\\ \beta & \mapsto & {\beta }^{n-1}\end{array}$$诱导出正 $(1,1)$-形式与正 $(n-1,n-1)$ 形式之间的双射.

3相关概念

•	正线丛
•	正除子
•	正向量丛

术语翻译

正性 • 英文 positivity • 法文 positivité • 拉丁文 positivitas • 古希腊文 θετικότης

正形式 • 英文 positive form • 法文 forme positive • 拉丁文 forma positiva • 古希腊文 θετικὴ μορφή

强正形式 • 英文 strongly positive forms • 法文 forme fortement positive • 拉丁文 forma fortiter positiva • 古希腊文 ἰσχυρῶς θετικὴ μορφή