仿射簇

在代数几何中, 仿射簇 (或仿射代数簇) 是一类简单的代数簇, 是指仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中由一组多项式刻画出的零点集. 具体而言, 域 $k$ 上多项式 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ 的零点集就是集合$$V_{f_1,\dots ,f_m}=\{x\in k^n\mid f_1(x)=\cdots =f_m(x)=0\},$$它带有一些额外结构而成为代数簇, 这样的代数簇就是仿射簇.

仿射簇也可以描述为形如 $X=\mathrm{Spec}A$ 的仿射概形, 其中 $A$ 是有限生成 $k$-交换代数, $\mathrm{Spec}$ 表示素谱. 这里 $A$ 也是 $X$ 上所有函数构成的 $k$-代数, 这是代数–几何对偶的一个典型例子. 例如, 若仿射簇 $X=V_{f_1,\dots ,f_m}$ 是仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中多项式 $f_1,\dots ,f_m$ 确定的零点集, 则其函数环为$$A=k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m),$$其中右边是关于 $f_1,\dots ,f_m$ 生成的理想的商环. 这是因为, $X$ 上的函数也一定是关于 $x_1,\dots ,x_n$ 的多项式, 但因为每个 $f_i$ 在 $X$ 上都为零, 所以 $f_i$ 和 $0$ 视为 $X$ 上的同一个函数. 此时, 我们有$$X\simeq \mathrm{Spec}(k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m)).$$

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-概形. 称 $X$ 为 $k$ 上的仿射簇, 如果以下等价条件成立:

•	$X$ 是 $k$-代数簇, 且是仿射概形.

•	$X$ 作为 $k$-概形同构于 $\mathrm{Spec}A$, 其中 $A$ 是有限生成 $k$-交换代数.

•	$X$ 同构于某个仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 的闭子概形.

术语翻译

仿射簇 • 英文 affine variety • 德文 affine Varietät (f) • 法文 variété affine (f) • 日文 アフィン多様体 (あふぃんたようたい)