仿射态射

1定义

定义 1.1. 态射 $f:X\to S$ 为仿射态射, 如果存在 $S$ 的仿射开覆盖 $S_{\alpha }$, 使得 $X$ 的开子概形 $f^{-1}(S_{\alpha })$ 都是仿射概形. 此时称 $X$ 为仿射 $S$ 概形.

仿射 $S$ 概形是仿射概形的相对版本. 如同从环构造其素谱, 对于 $(S,{\mathcal{O}}_S)$ 上的拟凝聚代数层 $\mathcal{A}$, 也可以构造一个在 $S$ 上仿射的概形.

2性质

命题 2.1.

•	仿射态射是拟紧态射、分离态射.
•	设 $f:X\to S$ 为仿射态射, 则 $f_{\ast }$ 正合, 将拟凝聚层映到拟凝聚层.
•	仿射态射的复合还是仿射态射.
•	仿射态射的基变换还是仿射态射.

命题 2.2. 若态射 $f:X\to S$ 为仿射态射, 则对任何仿射开集 $U\subseteq S$, 都有 $f^{-1}(U)$ 是仿射概形.

以下三个命题和仿射概形平行.

命题 2.3. 设 $X,Y$ 为 $S$ 概形, $f,g$ 分别为其结构态射. 若 $X$ 为仿射 $S$-概形, 则有$${\mathrm{Hom}}_S(Y,X)={\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_S}(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X,g_{\ast }{\mathcal{O}}_Y).$$

命题 2.4. 设 $\mathcal{A}$ 为拟凝聚 ${\mathcal{O}}_S$ 代数层, 则存在一个仿射 $S$ 概形 $X$ 使得 $f_{\ast }(X)=\mathcal{A}$, 其在相差一个唯一 $S$ 同构的意义下被唯一确定, 记作 $\mathbf{Spec}(\mathcal{A})$, 称为 $\mathcal{A}$ 的相对素谱.

证明.

证明. 唯一性源自以上命题, 下证存在性. 对每个仿射开集 $U$, 取 $X_U=\mathrm{Spec}(\Gamma (U,\mathcal{A}))$. 由于 $\Gamma (U,\mathcal{A})$ 是 $\Gamma (U,{\mathcal{O}}_S)$ 代数, $X_U$ 是一个仿射 $U$ 概形, 设 $f_U$ 是其结构态射. 由于 $A$ 是拟凝聚的, 有典范同构 $f_{\ast }(X_U)\simeq \mathcal{A}{|}_U$.

设 $V$ 是 $S$ 的另一仿射开集, 且 $X_{U,V}$ 是 $X_U$ 的开子概形 $f_U^{-1}(U\cap V)$. 则 $X_{U,V},X_{V,U}$ 都在 $U\cap V$ 上是仿射的, 并且 ${f_U}_{\ast }(X_{U,V}),{f_V}_{\ast }(X_{V,U})$ 都典范同构于 $\mathcal{A}{|}_{U\cap V}$. 根据以上命题, 这给出一个同构 ${\theta }_{U,V}:X_{U,V}\to X_{V,U}$. 这些同构通过 $\mathcal{A}$, 自然满足上圈条件, 因此得到一个概形 $X$, 其被 $X_U$ 覆盖. 每个 $X_U$ 都是 $U$ 概形, 并且在重叠部分的结构态射是相同的, 因此 $X$ 是一个 $S$ 概形. 由此构造, 易见 $X$ 是仿射 $S$ 概形, 且 $f_{\ast }({\mathcal{O}}_X)=\mathcal{A}$.

$\square$

命题 2.5. $X\mapsto f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ 与 $\mathcal{A}\mapsto \mathbf{Spec}(\mathcal{A})$ 给出范畴等价$$\{\text{仿射 S-概形}\}\simeq \{\text{拟凝聚 OS-代数层}\}.$$

3例子

•	闭浸入是仿射态射.
•	整态射、有限态射依定义是仿射态射.
•	仿射概形间的态射是仿射态射; 一般地, 由对角态射论证, 仿射概形到分离概形的态射是仿射态射.
•	仿射平面到双原点仿射平面的开浸入不是仿射态射.

术语翻译

仿射态射 • 英文 affine morphism • 德文 affiner Morphismus • 法文 morphisme affine