Jacobson 环

Jacobson 环指的是任一商环都满足 Jacobson 根等于幂零根这一性质的交换环. 它的理论推广了 Hilbert 零点定理.

1定义

定义 1.1. 交换环 $A$ 称为 Jacobson 环, 指对其每个理想 $I$, $A/I$ 的 Jacobson 根等于幂零根.

注 1.2. 由于 Jacobson 根是所有极大理想的交, 幂零根是所有素理想的交, 故以上定义也等价于对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$ 都有$$\mathfrak{p}=\bigcap _{\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{m}极大理想}\mathfrak{m}.$$

注 1.3. 定义中不能只要求 $A$ 自己的 Jacobson 根等于幂零根. 由于任一交换环上的一元多项式环的 Jacobson 根都等于幂零根, 只要求自己得到的概念意义不大.

2例子

•	由 Hilbert 零点定理, 域上有限生成的环是 Jacobson 环.
•	显然 $\mathbb{Z}$ 是 Jacobson 环. 故 $\mathbb{Z}$ 上有限生成的环也是 Jacobson 环.
•	零维环的素理想和极大理想是一回事, 故零维环都是 Jacobson 环.
•	维数大于 $0$ 的局部环不是 Jacobson 环. 但对 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 以及 $f\in \mathfrak{m}$, 局部化 $R_f$ 是 Jacobson 环.

3性质

不 Jacobson 的环有如下刻画:

引理 3.1. 环 $A$ 不 Jacobson, 当且仅当存在元素 $f$ 以及不极大的素理想 $\mathfrak{p}$, 使得 $(A/\mathfrak{p}{)}_f$ 是域.

证明. 如存在这样的 $f$ 和 $\mathfrak{p}$, 则由于 $A/\mathfrak{p}$ 不是域但 $(A/\mathfrak{p}{)}_f$ 是域, 有 $f$ 属于 $A/\mathfrak{p}$ 的每个极大理想, 否则该极大理想将成为 $(A/\mathfrak{p}{)}_f$ 的非零素理想; 但 $f\notin \mathfrak{p}$, 于是 $\mathfrak{p}$ 不等于包含它的所有极大理想之交, $A$ 不 Jacobson.

反过来如 $A$ 不 Jacobson, 设理想 $I\subseteq A$ 满足 $A/I$ 的 Jacobson 根大于幂零根. 取 $f\in A$, 在 $A/I$ 中的像在其 Jacobson 根中但不在幂零根中, 则 $(A/I{)}_f\ne 0$. 取 $(A/I{)}_f$ 的极大理想 $\mathfrak{p}$, 视为 $A$ 的理想, 则 $(A/\mathfrak{p}{)}_f$ 是域. 由于 $f\notin \mathfrak{p}$ 但 $f$ 在 $A/I$ 的 Jacobson 根中, $\mathfrak{p}$ 不可能极大.

$\square$

以下推论虽被后面的定理覆盖, 但在定理证明过程中需要用到.

推论 3.2. $A$ 是 Jacobson 环, $f\in A$, 则 $A_f$ 也是 Jacobson 环, 且其中极大理想交 $A$ 仍极大. 特别地, 如果 $A$ 是 Jacobson 整环而不是域, 那么 $A_f$ 也是 Jacobson 整环而不是域.

证明. 如 $A_f$ 中极大理想 $\mathfrak{m}$ 满足 $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}\cap A$ 不极大, 则 $(A/\mathfrak{p}{)}_f=A_f/\mathfrak{m}$ 是域, 与引理 3.1 矛盾.

如 $A_f$ 不 Jacobson, 取元素 $g\in A_f$ 以及不极大的素理想 $\mathfrak{q}\subseteq A_f$ 使得 $(A_f/\mathfrak{q}{)}_g$ 是域. 写 $g=\frac{h}{f^n}$, $n\in \mathbb{N}$, $h\in A$. 令 $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$. 则 $\mathfrak{p}$ 在 $A$ 中不极大, 且 $(A/\mathfrak{p}{)}_{fh}=(A_f/\mathfrak{q}{)}_g$ 是域, 于是 $A$ 不 Jacobson.

$\square$

以下定理是 Hilbert 零点定理的推广, 是 Jacobson 环最重要的性质.

定理 3.3. 设 $A$ 是 Jacobson 环, 环 $B$ 在 $A$ 上有限生成, 则 $B$ 也是 Jacobson 环. 此外, 对 $B$ 的极大理想 $\mathfrak{n}$, 如令 $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}\cap A$, 则 $\mathfrak{m}$ 是 $A$ 的极大理想, 且 $B/\mathfrak{n}$ 在 $A/\mathfrak{m}$ 上有限.

证明. 注意定理如对同态 $A\to B$ 与 $B\to C$ 成立, 则它对 $A\to C$ 也成立. 由于有限生成同态是形如 $A\to A[x]$ 的同态以及满射的复合, 而对满射即 $B$ 是 $A$ 的商环情形定理显然, 故只需证 $B=A[x]$ 情形.

反证法, 如 $A[x]$ 不 Jacobson, 用引理 3.1 取出 $\mathfrak{p}\subseteq A[x]$ 不极大以及 $f(x)\notin \mathfrak{p}$ 使得 $(A[x]/\mathfrak{p}{)}_f$ 是域. 以 $A/(\mathfrak{p}\cap A)$ 代替 $A$, 不妨设 $A$ 是整环, 分式域为 $K$, 且 $\mathfrak{p}\cap A=0$. 换言之 $\mathfrak{p}$ 与乘性子集 $A\setminus 0\subseteq A[x]$ 无交, 故 $\mathfrak{p}$ 是 $(A\setminus 0{)}^{-1}A[x]=K[x]$ 的素理想与 $A[x]$ 的交. 由于 $K[x]$ 是主理想整环, 现在只有两种情况:

•	$\mathfrak{p}=0$.
•	$\mathfrak{p}=p(x)K[x]\cap A[x]$, 其中 $p(x)\in K[x]$ 首一不可约.

由于 $K[x{]}_{f(x)}$ 尚不是域, $A[x{]}_{f(x)}$ 更不会是域, 故第一种情况不可能, 只有第二种情况. 此时如 $A=K$ 是域则 $\mathfrak{p}$ 就是极大理想, 所以 $A$ 不是域. 由于 $f(x)\notin \mathfrak{p}=p(x)K[x]\cap A[x]$, 在 $K[x]$ 中有 $(p(x),f(x))=1$, 故可取 $g(x),h(x)\in K[x]$ 使得$$g(x)p(x)+h(x)f(x)=1.$$现在令 $a\in A$ 为上式左边四个多项式各系数分母之积. 于是 $p(x)\in A_a[x]$ 首一, 从而 $\mathfrak{p}{A}_a[x]=p(x)K[x]\cap A_a[x]=p(x)A_a[x]$; 又 $f(x)\in (A_a[x]/p(x){)}^{\times }$, 从而 $A_a[x]/p(x)=(A_a[x]/p(x){)}_{f(x)}=(A[x]/\mathfrak{p}{)}_{af}$ 是域, 即 $A_a[x]/p(x)=K[x]/p(x)$. 但两边分别是 $A_a$ 与 $K$ 上秩为 $\mathrm{deg}p$ 的自由模, 于是 $A_a=K$ 是域, 这与推论 3.2 矛盾! 故 $A[x]$ Jacobson.

考虑 $A[x]$ 的极大理想 $\mathfrak{n}$, 令 $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}\cap A$. 商去 $\mathfrak{m}$ 可设 $\mathfrak{m}=0$. 和上面类似, 不难得到 $\mathfrak{n}=p(x)K[x]\cap A[x]$, 其中 $p(x)\in K[x]$ 首一不可约. 令 $a$ 为 $p(x)$ 各系数分母之积, 则同样 $\mathfrak{n}{A}_a[x]=p(x)A_a[x]$. 于是 $A_a[x]/p(x)$ 是域, 和上面一样地, $A_a$ 是域, 从而由推论 3.2 知 $A$ 是域, 从而 $\mathfrak{m}=0$ 极大. 现在 $A_a=A$, $B/\mathfrak{n}$ 无非就是 $A[x]/p(x)$, 自然在 $A/\mathfrak{m}=A$ 上有限.

$\square$

该定理有以下显然而重要的推论, 常用来将一些问题化归到有限域上.

推论 3.4. $\mathbb{Z}$ 上有限生成环 Jacobson, 且极大理想的剩余域都是有限域.

以下命题比较漂亮.

命题 3.5. 设 $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $f\in \mathfrak{m}$. 则 $R_f$ 是 Jacobson 环.

证明. 反证法, 仍用引理 3.1 取出不极大的 $\mathfrak{p}$ 以及元素 $g$ 使得 $(R_f/\mathfrak{p}{)}_g$ 是域. 把 $R$ 换成 $R/\mathfrak{p}$, 可设 $\mathfrak{p}=0$. 现在 $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部整环, 维数至少是 $2$ (由于 $0$ 在 $R_f$ 中不是极大理想, 所以尚有理想严格在 $0$ 和 $\mathfrak{m}$ 之间), 存在元素 $r\in \mathfrak{m}$ 使得 $R_r$ 是域 (写 $g=\frac{h}{f^N}$, 取 $r=fh$), 要推矛盾.

由结合素理想的理论, 包含 $r$ 的极小素理想只有有限个, 设为 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$. 由 Krull 高度定理, 这些素理想的高度都是 $1$, 都不是极大理想. 由素理想回避, 存在元素 $s\in \mathfrak{m}$, 不在任一 ${\mathfrak{p}}_i$ 中. 取包含 $s$ 的极小素理想 $\mathfrak{q}$, 则它不是任一个 ${\mathfrak{p}}_i$, 而高度又是 $1$, 故它不包含 $r$. 我们找到了不包含 $r$ 的非零素理想, 与 $R_r$ 是域矛盾! 命题得证.

$\square$

4相关概念

•	Hilbert 零点定理

术语翻译

Jacobson 环 • 英文 Jacobson ring • 德文 Jacobsonring • 法文 anneau de Jacobson