整除

在初等数论中, 对整数 $a,b$ 而言, 说 $a$ 整除 $b$, 或者说 $b$ 被 $a$ 整除, 是说存在整数 $m$, 使得$$b=ma.$$此时, 我们记 $a\mid b$. 整除的概念也可以推广到一般的交换环中.

1定义

对整数

定义 1.1. 设 $a,b$ 为整数. 若存在整数 $m$, 使得$$b=ma,$$则称 $a$ 整除 $b$, 或者说 $b$ 被 $a$ 整除, 并记 $a\mid b$. 此时称 $a$ 为 $b$ 的因数, 称 $b$ 为 $a$ 的倍数.

在交换环中

定义 1.2. 设 $R$ 为交换环, 设 $a,b\in R$. 若存在 $m\in R$, 使得$$b=ma,$$则称 $a$ 整除 $b$, 或者说 $b$ 被 $a$ 整除, 并记 $a\mid b$. 此时称 $a$ 为 $b$ 的因子, 称 $b$ 为 $a$ 的倍元.

2例子

•	$\pm 1$ 整除任何整数; $0$ 被任何整数整除.

3性质

作为偏序关系

整除关系是自然数集 $\mathbb{N}$ 上的偏序关系. 偏序集 $(\mathbb{N},\mid )$ 是格, 其中的上、下确界分别为最小公倍数、最大公因数.

术语翻译

整除 (名词) • 英文 divisibility • 法文 divisibilité (f)

整除 (动词) • 英文 to divide • 法文 diviser

被···整除 • 英文 to be divisible by • 法文 être divisible par