本原元定理

本原元定理是个域论定理, 说的是有限可分扩张都是单扩张. 这个名称是因为我们把单扩张的生成元称为本原元.

1证明

引理 1.1. 设 $E/F$ 是有限扩张, 且 $x,y\in E$ 满足 $E=F(x,y)$. 则对除有限个之外的 $a\in F$, $F(ax+y)$ 与 $E$ 在 $F$ 上的可分次数相等.

证明. 取包含 $F$ 的代数闭域 $\Omega$, 考虑 $E$ 到 $\Omega$ 的 $F$-嵌入组成的集合 $\Sigma$, 依定义其基数为 $E$ 在 $F$ 上可分次数. 由于 $E=F(x,y)$, 不同的 $\sigma \in \Sigma$ 给出不同的有序对 $(\sigma (x),\sigma (y))\in {\Omega }^2$, 也就给出 $F$ 到 $\Omega$ 的不同的一次函数 $a\mapsto \sigma (ax+y)=a\sigma (x)+\sigma (y)$. 不同的一次函数在至多一个点值相同, 而 $|\Sigma |=[E:F{]}_s<\infty$, 所以对除有限个之外的 $a\in F$, 不同的 $\sigma \in \Sigma$ 给出不同的 $\sigma (ax+y)$, 所以对这些 $a$ 有 $[F(ax+y):F{]}_s=[E:F{]}_s$.

$\square$

定理 1.2 (本原元定理). 设 $E/F$ 是有限可分扩张, 则它是单扩张, 即存在 $x\in E$ 使得 $E=F(x)$.

证明. 如 $F$ 是有限域, 则 $E$ 也是. 此时 $E$ 的乘法群循环, 取 $x$ 为其生成元即可. 如 $F$ 是无限域, 对 $[E:F]$ 归纳. 取 $E/F$ 的生成元 $x_1,\dots ,x_n\in E$ 并不妨设 $F(x_1,\dots ,x_{n-1})⫋E$. 则由归纳假设, $F(x_1,\dots ,x_{n-1})$ 是单扩张, 记其本原元为 $y$, 然后记 $x_n=x$, 则 $E=F(x,y)$. 由引理 1.1 以及 $F$ 是无限域, 存在 $a\in F$ 使得 $[F(ax+y):F{]}_s=[E:F{]}_s$, 而 $E$ 可分, 这推出 $F(ax+y)=E$, 所以 $E/F$ 也是单扩张.

$\square$

本原元定理可推广如下.

定理 1.3 (单扩张的刻画). 设 $E/F$ 是有限扩张. 则以下几条等价:

1.	$E/F$ 是单扩张.
2.	记 $E_s$ 为 $F$ 在 $E$ 中的可分闭包, 则 $E/E_s$ 是单扩张. 换言之, $E/F$ 的纯不可分部分是单扩张.
3.	${\dim }_E{\Omega }_{E/F}\le 1$, 即微分模的秩至多是 $1$.

证明.

1 推 2	如 $E=F(x)$, 显然也有 $E=E_s(x)$.
2 推 3	由于 $E_s/F$ 可分, ${\Omega }_{E_s/F}=0$, 所以 ${\Omega }_{E/F}={\Omega }_{E/E_s}$. 现如 $E=E_s(x)$, 则 ${\Omega }_{E/E_s}$ 由 $\mathrm{d}x$ 生成, 秩至多是 $1$.
3 推 1	如 ${\Omega }_{E/F}=0$, 则 $E/F$ 可分, 这就是定理 1.2. 如 ${\Omega }_{E/F}=E$, 则 $E/F$ 不可分, $F$ 为无限域. 取 $x\in E$ 使得 $\mathrm{d}x\ne 0$, 则 $\mathrm{d}x$ 生成 ${\Omega }_{E/F}=E$, 所以 ${\Omega }_{E/F(x)}=0$, 即 $E/F(x)$ 可分. 用定理 1.2 取其本原元 $y$, 则 $E=F(x,y)$. 由于 $\mathrm{d}(ax+y)=a\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$ 是关于 $a\in F$, 取值于 ${\Omega }_{E/F}$ 的一次函数, 一次项系数 $\mathrm{d}x\ne 0$, 所以对除一个以外的 $a\in F$, $\mathrm{d}(ax+y)\ne 0$. 结合引理 1.1, 知对除有限个以外的 $a\in F$ 有 $[F(ax+y):F{]}_s=[E:F{]}_s$ 且 ${\Omega }_{E/F}=E\mathrm{d}(ax+y)$, 即 $E/F(ax+y)$ 既纯不可分又可分, 于是 $E=F(ax+y)$ 是单扩张. $\square$

2相关概念

• 可分扩张

术语翻译

本原元定理 • 英文 primitive element theorem • 德文 Satz vom primitiven Element • 法文 théorème de l’élément primitif