Kronecker 青春之梦

广义的 Kronecker 青春之梦 (又称 Hilbert 第十二问题) 是 Kronecker–Weber 定理的推广. Kronecker–Weber 定理描述的是 $\mathbb{Q}$ 的 Abel 扩域都可以由添加 ${\mathbb{S}}^1$ 上扭点处的取值, 也就是单位根给出. 而 Kronecker 青春之梦则是追求一般数域上的类似物: 通过添加特殊 Abel 簇 (或者更一般) 上特殊点 (一般是扭点) 的坐标给出 Abel 扩域.

狭义的 Kronecker 青春之梦 (Kronecker’s Jugendtraum), 指的是通过椭圆曲线的复乘理论完全刻画虚二次域的最大 Abel 扩张.

1中心思想

Kronecker 青春之梦的中心问题是:

具体刻画数域的 Abel 扩域.

其中心思想是:

添加结构良好的代数簇上良好的点的坐标得到 Abel 扩域.

2起源

在 1880 年 Kronecker 给 Dedekind 写的一封信中写到:

Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel’schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel’schen Gleichungen durch die Kreisteilungsgleichungen.

参考的中文翻译是:

它关乎我最亲爱的青春之梦, 也就是能见证以下事实的证明: 系数是开平方根的有理数的 Abel 方程被奇异模和椭圆函数的变换方程穷尽, 就像系数是有理数的 Abel 方程被分圆方程穷尽那样.

其中 “我最亲爱的青春之梦” (liebsten Jugendtraum) 就被后人指作 Kronecker 的这个宏图.

3虚二次域的陈述

假设 $K$ 是一个虚二次域, 对应的环面是 $\mathbb{C}/\Lambda$. 记 $j$ 为 $j$-不变量, $\wp$ 为 $\Lambda$ 对应的 Weierstraß 椭圆函数. 一个模糊的, 源自 Kronecker 的陈述是

$K$ 上的极大 Abel 扩张由 $\wp$ 在 $\mathbb{C}/\Lambda$ 上扭点的取值和 $j(\tau )$ 给出.

当然 Kronecker 的陈述并不是完全正确的. 精准的定理应该是

定理 3.1 (主定理). 假设 $H$ 是 $K$ 的 Hilbert 类域. 设 $E$ 是 $H$ 上的一条带 ${\mathcal{O}}_K$-复乘的椭圆曲线. 考虑商曲线 $X=E/{\mathcal{U}}_K$, 设 $\mathcal{P}$ 是 $E$ 中的扭点在 $X$ 中的像集. 那么有$$K^{\mathrm{ab}}=H\left(\left\{\bigcup _{p\in \mathcal{P}}{x}_p\right\}\right).$$而 Hilbert 类域 $H$ 也可以被如下方式完全确定: 任取一条 $K$ 上带 ${\mathcal{O}}_K$-复乘的椭圆曲线 $E^{\prime }$, 则有$$H=K\left(j(E^{\prime })\right).$$

4现代发展

从 1960 年代以来这个理论就快速发展起来了. 在此之前, 有 Hecke 用 Hilbert 模形式研究实二次域的 Abel 扩张. 而在 1960 年代, Taniyama 和 Shimura 发展了一般 Abel 簇的复乘理论, 用它刻画 CM 域的 Abel 扩张.

Langlands 在 1973 年设想青春之梦的现代形式应该关心 Shimura 簇的 Hasse–Weil $\zeta$ 函数. 而他的 Langlands 纲领也进一步地发展了这个理论, 只不过还是无法完全回答 Hilbert 第十二问题.

5相关论题

•	复乘理论
•	Stark 猜想
•	Langlands 纲领

术语翻译

Kronecker 青春之梦 • 英文 Kronecker’s Jugendtraum • 法文 Kronecker Jugendtraum