开浸入

在代数几何中, 开浸入是一类概形态射, 用来定义开子概形的概念, 即开浸入是开子概形向大概形的含入. 概形 $X$ 的开子概形也就是 $X$ 中的开集, 这样的开集都具有自然继承自 $X$ 的概形结构.

1定义

定义 1.1 (开浸入). 称环化空间态射 $j : (U, O_{U}) \to (X, O_{X})$ 为开浸入, 是指它满足以下条件:

•	拓扑空间的映射 $j : U \to X$ 是开嵌入, 即从 $U$ 到 $X$ 的开子空间的同胚.

•	结构层的映射 $j^{♯} : O_{U} ≃ j^{- 1} (O_{X})$ 是同构.

此时亦称 $U$ 是 $X$ 的开子空间.

若 $j : U \to X$ 是概形态射, 且是开浸入, 则称 $U$ 是 $X$ 的开子概形.

类似地, 若 $j : U \to X$ 是代数簇态射, 且是开浸入, 则称 $U$ 是 $X$ 的开子簇.

由定义, 环化空间的开子空间由相应拓扑空间中的开集确定, 因其结构层由定义确定. 特别地, 概形的开子概形由其拓扑空间中的开集确定.

•	对环 $A$ 以及 $f \in A$ , 自然态射 $Spec A_{f} \to Spec A$ 是开浸入, 对应 $Spec A$ 的开子集 $D (f)$ . 需要注意的是, 仿射概形间开浸入并不都如此.

•	一般地, 对环 $A$ 及其乘性子集 $S$ , 自然态射 $Spec S^{- 1} A \to Spec A$ 未必是开浸入. 比如 $Spec Q \to Spec Z$ 就不是开浸入, 因其像不是开集.

开浸入是平凡程度仅次于同构的概形态射.

命题 3.1. 开浸入在复合和基变换下封闭, 且是:

命题 3.2. 一个态射是开浸入当且仅当它是平坦、局部有限表现的单态射.

术语翻译

开浸入 • 英文 open immersion • 德文 offene Immersion • 法文 immersion ouverte • 拉丁文 immersio aperta • 古希腊文 ἀνοικτὴ ἐμβάθυσις

开子概形 • 英文 open subscheme • 德文 offenes Unterschema • 法文 sous-schéma ouvert • 拉丁文 subschema apertum • 古希腊文 ἀνοικτὸν ὑπόσχημα