后继基数

一个基数的后继是大于它的最小基数. 若一个基数是另一个基数的后继, 则称它为后继基数. 若一个无限基数不是后继基数, 则称为极限基数.

通常只对不可数基数使用这个概念.

1定义

定义 1.1 (基数的后继). 设 $\kappa$ 为基数. 大于 $\kappa$ 的最小基数称为 $\kappa$ 的后继, 记为 ${\kappa }^{+}$.

定义 1.2 (后继基数与极限基数). 设 $\kappa$ 为基数. 若存在基数 $\lambda$ 使得 $\kappa ={\lambda }^{+}$, 则称 $\kappa$ 为后继基数.

若 $\kappa$ 无限且不为后继基数, 则称它为极限基数.

2性质

注意 ${\omega }_{\alpha }^{+}={\omega }_{\alpha +1}$, 由此立得

引理 2.1. 设 $\kappa ={\omega }_{\alpha }$ 为不可数基数, 其中序数 $\alpha >0$. 则 $\kappa$ 为后继基数当且仅当 $\alpha$ 为后继序数; $\kappa$ 为极限基数当且仅当 $\alpha$ 为极限序数.

3相关概念

术语翻译

后继基数 • 英文 successor cardinal number

极限基数 • 英文 limit cardinal number