模型

在模型论中, 模型是一阶语言组成的结构. 它由论域, 和论域上的结构组成.

事实上, 模型的概念是依赖于一阶理论, 有理论才能谈论模型, 否则只能谈论结构. 在一般的数学实践中, 我们不会特意区分理论和模型, 但实际上理论与模型是普遍存在的: 如群或域的公理就是它们的理论, 而群或域的各种实例就是他们的模型.

1定义

定义 1.1 ($\mathcal{L}$-结构). 一阶语言的结构 $\mathfrak{A}$ 是一个定义域包括 $\mathcal{L}$ 和量词符号的函数, 其中 $\mathcal{L}$ 是常元, 函数和谓词的集合, 满足下面的条件:

•	$\mathfrak{A}$ 给 $\forall$ 指定一个非空集合 $|\mathfrak{A}|$, 称作论域.
•	对每个常元 $c\in \mathcal{L}$, $\mathfrak{A}(c)$ 是论域中的一个元素, 记作 $c^{\mathfrak{A}}$.
•	对每个 n 元谓词 $P$, $\mathfrak{A}(P)$ 是论域上的一个 n 元关系, 记作 $P^{\mathfrak{A}}$, 即 $P^{\mathfrak{A}}\subseteq |{\mathfrak{A}}^n|$.
•	对每个 n 元函数 $f$, $\mathfrak{A}(f)$ 是论域上的一个 n 函数, 记作 $f^{\mathfrak{A}}$, 即 $f^{\mathfrak{A}}:|\mathfrak{A}{|}^n\to |\mathfrak{A}|$.

一个结构一般记作 $\mathfrak{A}=(|\mathfrak{A}|,c,P,f)$

定义 1.2 (模型). $\mathcal{M}$ 是一个 $\mathcal{L}$-结构, 它是一阶理论 $T$ 的模型, 如果理论 $T$ 在 $\mathcal{M}$ 上是可满足的.

2例子

•	集合论的模型是语言 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{set}}=\{\in \}$ 的结构.

•	结构 $(\mathbb{C},0,1,+,\times )$ 是域理论的一个模型.

•	如果结构 $(\mathbb{M},f)$ 是一个存在闭模型, 那么它是下面理论的模型:

1. $f$ 是 $\mathbb{M}\to \mathbb{M}$ 的满射.

2. 对任意 $x\in M$, $|\{y:f(y)=x\}|⩾{\aleph }_0$.

3. 对任意 $n\in \mathbb{N}$, 都存在 $x\in M$, 使得对任意 $i<n$, $f^i(x)\ne x$, 而 $f^n(x)=x$. 其中 $f^n(x)=f(f(f...(x)..))$.

3相关概念

•

一阶语言

•

一阶理论

•	Löwenheim–Skolem 定理

术语翻译

存在闭模型 • 英文 ExistenExistentially closed model