ℵ 数

$\mathbf{\aleph }$ 数是一列无限基数:$${\aleph }_0,{\aleph }_1,{\aleph }_2,\dots ,{\aleph }_{\alpha },\dots ,$$其中 $\alpha$ 取遍所有序数. 如果假定选择公理, 那么这一列基数就是将所有无限基数从小到大排列, 而得到的序列.

记号 $\aleph$ (aleph) 是希伯来文的第一个字母.

1定义

定义 1.1 ($\aleph$ 数). 我们使用超限归纳法, 定义基数序列 $\{{\aleph }_{\alpha }\}$ 如下: $$\begin{array}{rl}{\aleph }_0& =|\mathbb{N}|,\\ {\aleph }_{\alpha +1}& ={\aleph }_{\alpha }^{+},\\ {\aleph }_{\lambda }& =\underset{\alpha <\lambda }{\sup }{\aleph }_{\alpha }(\text{λ 为极限序数}),\end{array}$$其中

•	对集合 $X$, 以 $|X|$ 表示 $X$ 的势.
•	对基数 $\kappa$, 以 ${\kappa }^{+}$ 表示严格大于 $\kappa$ 的最小基数. 其存在性由良序定理得到.

这样定义的 ${\aleph }_{\alpha }$ 称为第 $\alpha$ 个 $\mathbf{\aleph }$ 数.

定义 1.2 ($\omega$ 数). 基数 ${\aleph }_{\alpha }$ 对应的最小序数记为 ${\omega }_{\alpha }$, 称为第 $\alpha$ 个 $\mathbf{\omega }$ 数.

2例子

•	${\aleph }_0$ 是最小的无限基数, 势等于它的集合称为可数集. 对应的序数 ${\omega }_0$ 通常记为 $\omega$, 它是最小的无限序数, 它作为良序集与自然数集 $\mathbb{N}$ 同构.
•	${\aleph }_1$ 是第二小的无限基数, 也是最小的不可数基数. 对应的序数 ${\omega }_1$ 是最小的不可数序数, 它同构于所有至多可数的序数构成的良序集.
•	连续统假设说的就是 $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$. 这相容且独立于 ZFC 公理. 由 Kőnig 定理以及力迫法可以说明, 只要 ${\aleph }_{\alpha }$ 的共尾类大于 $\omega$, $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_{\alpha }$ 就与 ZFC 相容.

3相关概念

•	$\beth$ 数
•	连续统假设

术语翻译

$\aleph$ 数 • 英文 aleph number