超限归纳法

超限归纳法, 又称超穷归纳法是一种在序数 (任意良序集) 上使用的归纳法. 可以认为是数学归纳法在更大的数类上的扩展.

1叙述

对于序数 , 只要对于所有比它小的序数 , 命题 都为真, 可以推出 也为真. 那么 对于所有序数都为真.

超限归纳法与序数的良序性相关, 可以考虑所有不满足的 的序数, 存在一个最小者. 该最小者满足所有比它小的序数都满足 为真, 故它也为真. (更一般的良基关系也可以应用归纳法)

一般应用超限归纳法有三种类型:

零情况: 即证明 为真.

后继序数情况: 如果 是后继序数, 在 为真的假设之下也为真.

极限序数情况: 对于所有极限序数 证明: 根据 对所有的小于 的序数成立, 推出 成立.(这一步通常采用并集公理来证明)

在理论上, 三种情况是一样的, 但在实践过程中可能会产生比较大的区别. 零情况有时也可以归为极限序数情况考虑.

2同选择公理的关系

在应用超限归纳法时实际上不需要用到选择公理, 但我们可能需要用到与之等价的 Zermelo 良序定理来将集合良序化以应用超限归纳法.

3相关概念

归纳法

归纳构造

Noether 归纳法

Epsilon 归纳法

良序集

良基关系

结构归纳法

术语翻译

超限归纳法英文 transfinite induction德文 transfinite Induktion法文 récurrence transfinie