Baire 纲定理

Baire 纲定理大概是说, 一个完备的度量空间不能太稀疏. 这里的 “稀疏” 是用所谓第一纲集的概念来刻画的. 历史上, Baire 用它来研究函数的分类.

1陈述与证明

第一纲集和第二纲集

我们从无处稠密的概念开始.

定义 1.1. 设 $X$ 是拓扑空间. 称子集 $E\subset X$ 无处稠密, 如果 $E$ 的闭包的内部 $(\bar{E}{)}^{\circ }=\varnothing$.

一些简单的例子是: $\mathbb{R}$ 的有限子集都是无处稠密的; Cantor 集也是无处稠密的.

引理 1.2. 设 $(X,\rho )$ 是度量空间, 则 $E\subset X$ 是无处稠密的, 当且仅当对任意的球 $B(x_0,r_0)$, 总是存在球 $B(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)$, 使得 $\bar{E}\cap \bar{B}(x_1,r_1)=\varnothing$.

证明概要.

证明概要. 必要性: 因为 $\bar{E}$ 没有内点, 故不能包含任意球, 取 $x_1\in B(x_0,r_0)\setminus \bar{E}$, 然后以 $x_1$ 为中心作足够小的球.

充分性: 用反证法, 如果 $\bar{E}$ 有内点, 则可以取球使得 $B(x_0,r_0)\subset \bar{E}$, 从而包含于它的球都包含于 $\bar{E}$, 与条件矛盾.

$\square$

定义 1.3. 拓扑空间 $X$ 的子集 $E$ 被称为是第一纲集, 如果它是可数个无处稠密集的并集. 不是第一纲集的集合叫做第二纲集.

显然, 可数个第一纲集的并集是第一纲集.

Baire 纲定理

定理 1.4 (Baire 纲定理). 完备的度量空间是第二纲集.

证明. 设 $(X,\rho )$ 是完备的度量空间. 用反证法, 如果 $X$ 是第一纲集, 则存在一列无处稠密集 $\{E_n\}$ 使得$$X=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n$$接下来反复应用引理 1.2. 对任意的球 $B(x_0,r_0)$, 存在球 $B(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)$, 且 $r_1<1$, 使得$$\bar{B}(x_1,r_1)\cap {\bar{E}}_1=\varnothing$$存在球 $B(x_2,r_2)\subset B(x_1,r_1)$, 且 $r_2<1/2$, 使得$$\bar{B}(x_2,r_2)\cap ({\bar{E}}_1\cup {\bar{E}}_2)=\varnothing$$如此继续, 得到一列球 $\{B(x_n,r_n)\}$, 满足 $B(x_n,r_n)\subset B(x_{n-1},r_{n-1})$, 且 $r_n<1/n$, 满足$$\bar{B}(x_n,r_n)\cap \left(\bigcup _{i=1}^n{\bar{E}}_i\right)=\varnothing$$注意到 $\rho (x_{n+p},x_n)\le r_n<1/n,p\in \mathbb{N}$, 有 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列. 根据完备性, $\{x_n\}$ 收敛于一点 $x\in X$. 如此在上式中令 $p\to \infty$ 得 $\rho (x,x_n)\le r_n$, 从而 $x\in \bar{B}(x_n,r_n),\forall n\in \mathbb{N}$. 根据 $B(x_n,r_n)$ 的定义, 有 $x\notin {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$, 矛盾.

$\square$

定理 1.5 (加强的 Baire 纲定理). 完备的度量空间中,

•	第一纲集的补集是稠密的第二纲集.
•	可数个稠密开集的交是稠密的第二纲集.

证明. 设 $X$ 是完备的度量空间, $\{E_n\}$ 是一列无处稠密集.

上面实际上已证明了这一结果: 对任意的球 $B(x_0,r_0)$, 存在其中的点 $x\notin {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$. 故 $X\backslash {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$ 不止非空, 而且稠密.

此外, $X\backslash {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$ 也是第二纲集, 这是因为假如它是第一纲集, $X$ 就是两个第一纲集的并, 故是第一纲集, 与 Baire 纲定理矛盾. 前一结论成立.

稠密的开集是无处稠密的闭集的补集, 记为 $X\backslash E_n$, 其交集是 $X\backslash {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$, 故后一结论是其推论.

$\square$

2应用

下面给出 Baire 纲定理若干个简单的应用.

命题 2.1. $\mathbb{R}$ 是不可数的.

证明. 熟知 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间. 如果它是可数的, 则可以写成一列: $\mathbb{R}=\{x_1,x_2,\cdots \}$. 注意到单点集 $\{x\}$ 总是 $\mathbb{R}$ 的无处稠密集, 且$$\mathbb{R}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{x_n\}$$故 $\mathbb{R}$ 是第一纲集, 这与 Baire 纲定理矛盾.

$\square$

命题 2.2. 设 $X$ 是无孤立点的完备度量空间, $E$ 是可数的稠密集, 则 $E$ 不是 $G_{\delta }$ 集.

证明. $E$ 是可数个单点集的并, 是第一纲集. 然而假设 $E={\bigcap }_{n=1}^{\infty }{U}_n$, $U_n$ 是开集, 由于 $U_n\supset E$ 是稠密的, 交集 $E$ 是第二纲集, 矛盾.

$\square$

特别地, 有理数集 $\mathbb{Q}$ 不是 $\mathbb{R}$ 的 $G_{\delta }$ 集.

命题 2.3. 无穷维 Banach 空间作为线性空间, 是不可数维的.

证明. 注意到可数维子空间 $M$ 能表示成一列有限维子空间 $M_1\subset M_2\subset \cdots$ 的并集 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{M}_n$, 各个 $M_n$ 是无处稠密的, 故 $M$ 不是完备的空间.

$\square$

Baire 纲定理还可以用于证明开映射定理、闭图像定理等泛函分析的重要定理, 可参见对应条目.

历史上纲和 Baire 纲定理被用于研究函数的分类和性质, 下面的惊人结论就是其中一个结果, 它说明处处连续处处不可微的函数是相当多的.

命题 2.4. 用 $E$ 表示在 $C[0,1]$ 中处处不可微的函数集合, 则 $E$ 是第二纲集.

证明. $X=C[0,1]$ 是完备度量空间, 由 Baire 纲定理知 $X$ 是第二纲集. 如果 $X\setminus E$ 是第一纲集, 则命题得证. 下面证明这一点. 用 $A_n$ 表示 $X$ 中如下函数 $f$ 的集合: 存在 $s\in [0,1]$, 使得对任意满足 $0\le s+h\le 1$ 和 $|h|\le 1/n$ 的 $h$, 都有$$\left|\frac{f(s+h)-f(s)}{h}\right|\le n$$如果 $f$ 在点 $s$ 可微, 则必有 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $f\in A_n$. 如此$$X\setminus E\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n$$只需证明 $A_n$ 都是无处稠密的. 接下来分两步.

•

先证明 $A_n$ 是闭集. 如果 $f\in X\setminus A_n$, 则对所有的 $s\in [0,1]$, 存在 $h_s$ 使得$$|h_s|\le 1/n,|f(s+h_s)-f(s)|>n|h_s|$$由连续性, 不难证明, 存在 ${\epsilon }_s>0$, 和 $s$ 的一个邻域 $J_s$, 使得$$|f(\sigma +h_s)-f(\sigma )|>n|h_s|+2{\epsilon }_s,\forall \sigma \in J_s$$由 Heine–Borel 定理, 可设 $J_{s_1},\cdots ,J_{s_m}$ 覆盖区间 $[0,1]$, 并设 $\epsilon =\min \{{\epsilon }_{s_1},\cdots ,{\epsilon }_{s_m}\}$. 现在, 设 $g\in X$ 满足 $\Vert g-f\Vert <\epsilon$, 则对任意 $\sigma \in J_{s_k},1\le k\le m$, 有$$|g(\sigma +h_{s_k})-g(\sigma )|\ge |f(\sigma +h_{s_k})-f(\sigma )|-2\epsilon >n|h_{s_k}|$$如此可得 $g\in X\setminus A_n$, 即 $X\setminus A_n$ 是开集. 故 $A_n$ 是闭集.

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再证明 $A_n$ 没有内点. 对任何 $f\in A_n,\epsilon >0$, 由 Stone–Weierstraß 定理得: 存在多项式 $p$ 使得$$\Vert f-p\Vert <\epsilon /2$$因为 $p$ 的导数在 $[0,1]$ 上有界, 根据中值定理, 存在 $M>0$ 使得对任意 $s\in [0,1]$ 和 $|h|<1/n$ 成立$$|p(s+h)-p(s)|\le M|h|$$令 $g\in C[0,1]$ 为一个分段线性函数, 满足其每个线性部分的斜率绝对值都大于 $M+n$, 且 $\Vert g\Vert <\epsilon /2$. 如此令 $\phi =p+g$, 则 $\Vert \phi -f\Vert <\epsilon$, 且 $\phi \notin A_n$. 这表明以 $A_n$ 元素为中心的任何开球都不包含于 $A_n$, 即没有内点.

综上所述, 证明了 $A_n$ 是无处稠密集, 从而定理成立.

$\square$

3相关概念

术语翻译

Baire 纲定理 • 英文 Baire category theorem