自反 Banach 空间

在泛函分析中, 称 Banach 空间 $X$ 为自反 Banach 空间, 是说 $X$ 与自身的双对偶 Banach 空间 $X^{\ast \ast }$ 同构.

1定义

定义 1.1 (对偶 Banach 空间). 设 $X$ 是 Banach 空间, 用 $X^{\ast }$ 表示 $X$ 上的连续线性泛函全体. 则 $X^{\ast }$ 也是 Banach 空间, 称为 $X$ 的对偶 Banach 空间.

对偶空间的对偶空间 $X^{\ast \ast }$ 称为双对偶空间.

定义 1.2. 设 $X$ 是 Banach 空间. 对任意 $x\in X$, 定义 $X^{\ast }$ 上的线性泛函 ${\mathrm{ev}}_x$ 为$${\mathrm{ev}}_x(f)=f(x),$$其中 $f\in X^{\ast }$. 则不难发现 ${\mathrm{ev}}_x\in X^{\ast \ast }$. 由此得到的映射$$\mathrm{ev}:X⟶X^{\ast \ast }$$称为求值映射.

命题 1.3. 求值映射 $\mathrm{ev}$ 是 $X$ 与 $X^{\ast \ast }$ 的一个子空间之间的等距同构.

证明.

证明. 先证明线性. 对 $x,y\in X$, 有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{ev}}_{ax+by}(f)& =f(ax+by)\\ & =af(x)+bf(y)\\ & =a{\mathrm{ev}}_x(f)+b{\mathrm{ev}}_y(f)\\ & =(a{\mathrm{ev}}_x+b{\mathrm{ev}}_y)(f).\end{array}$$再证明等距性. 由定义, $$|{\mathrm{ev}}_x(f)|=|f(x)|\le \Vert f\Vert \cdot \Vert x\Vert$$即 $\Vert {\mathrm{ev}}_x\Vert \le \Vert x\Vert$; 另一方面, 由 Hahn–Banach 定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 使得 $\Vert f\Vert =1$ 且 $f(x)=\Vert x\Vert$. 此时$$\Vert x\Vert =f(x)={\mathrm{ev}}_x(f)\le \Vert {\mathrm{ev}}_x\Vert$$于是 $\Vert {\mathrm{ev}}_x\Vert =\Vert x\Vert$.

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定义 1.4. 设 $X$ 是 Banach 空间. 如果求值映射$$\mathrm{ev}:X⟶X^{\ast \ast }$$是双射, 则称 $X$ 为自反 Banach 空间.

此时, 通常不再区分 $X$ 与 $X^{\ast \ast }$.

2例子

•	有限维赋范线性空间都是自反 Banach 空间. 这是因为对偶空间的维数与原空间维数相同, 再结合秩-零化度定理.

•	Hilbert 空间都是自反 Banach 空间.

•	对 $1<p<\infty$, $L^p$ 空间是自反的, 并且 $(L^p{)}^{\ast }=L^q$, 其中 $1/p+1/q=1$. 而 $p=1,\infty$ 时则不是这样.

3性质

定理 3.1 (Pettis 定理). 设 $X$ 是自反空间, $X_0$ 为其闭子空间. 则 $X_0$ 也是自反的.

证明. 任取 $z_0\in X_0^{\ast \ast }$, 要证明 $z_0\in X_0$, 只要证存在 $x\in X_0$ 使得$$z_0(f_0)=f_0(x),\forall f_0\in X_0^{\ast }$$对任意 $f\in X^{\ast }$, 考虑 $f$ 在 $X_0$ 上的限制 $Tf=f_0$. 因为 $\Vert f_0\Vert \le \Vert f\Vert$, 所以 $T:X^{\ast }\to X_0^{\ast }$ 是有界线性算子. 这样 $z=T^{\ast }{z}_0\in X^{\ast \ast }$, 其中 $T^{\ast }$ 为对偶算子. 因为 $X$ 是自反的, 故存在 $x\in X$ 使得$$z(f)=f(x),\forall f\in X^{\ast }$$现在证明 $x\in X_0$. 若不然, 根据 Hahn–Banach 定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 使得$$f(X_0)=0,f(x)=1$$即 $Tf=0$. 但这不可能: $$0=z_0(Tf)=(T^{\ast }{z}_0)(f)=z(f)=f(x)=1$$于是 $x\in X_0$.

还需证明 $x$ 满足 $z_0(f_0)=f_0(x)$. 对任意 $f_0\in X_0^{\ast }$, 由 Hahn–Banach 定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 使得 $f_0=Tf$. 从而$$z_0(f_0)=z_0(Tf)=(T^{\ast }{z}_0)(f)=z(f)=f(x)=f_0(x)$$得证.

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定理 3.2 (Eberlain–Smulian 定理). 自反 Banach 空间的单位闭球是弱紧的.

这里, “弱紧” 是指在弱拓扑下紧. 在弱拓扑下的收敛可以表述为$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(x),\forall f\in X^{\ast }$$

证明. 先证明: $X$ 中的任何有界点列 $\{x_n\}$ 有弱收敛子列. 令$$X_0=\overline{\mathrm{span}\{x_n\}}$$它是闭线性子空间. 根据 Pettis 定理, $X_0$ 是自反的. 而 $X_0$ 显然是可分的, 故 $X_0^{\ast \ast }$ 是可分的. 根据 Banach 的定理 (如果对偶空间可分, 则原空间可分), $X_0^{\ast }$ 可分. 令 $g_n\in X_0^{\ast \ast }$ 满足$$g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X_0^{\ast }$$则 $\{\Vert g_n\Vert \}$ 有界. 设 $M_0^{\ast }$ 是 $X_0^{\ast }$ 的可数稠密子集, 则可用对角线法则选出子列 $\{g_{n_k}\}$ 和 $g\in X_0^{\ast \ast }$ 使得$$\underset{k\to \infty }{\lim }{g}_{n_k}(f)=g(f),\forall f\in M_0^{\ast }$$根据 Banach–Steinhaus 定理, 上式对任意 $f\in X_0^{\ast }$ 成立. 因 $X_0$ 是自反的, 有 $x_0\in X_0$ 满足$$g(f)=f(x_0),\forall f\in X_0^{\ast }$$所以$$\begin{array}{rl}\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})& =\underset{k\to \infty }{\lim }{g}_{n_k}(f)\\ & =f(x_0),\forall f\in X_0^{\ast }\end{array}$$现在令 $f\in X^{\ast }$. 记 $\tilde{f}$ 为 $f$ 在 $X_0$ 上的限制, 则因为 $x_{n_k},x_0\in X_0$, 有$$\begin{array}{rl}\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})& =\underset{k\to \infty }{\lim }\tilde{f}(x_{n_k})\\ & =\tilde{f}(x_0)=f(x_0)\end{array}$$故 $\{x_{n_k}\}$ 弱收敛于 $x_0$.

现在证明单位闭球弱紧. 设 $\{x_n\}$ 为单位闭球内的序列, 则上述证明表示它有收敛子列, 记为 $\{x_{n_k}\}$. 记弱极限为 $x_0$, 由 Hahn–Banach 定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 满足 $\Vert f\Vert =1,f(x_0)=\Vert x_0\Vert$. 故$$\Vert x_0\Vert =f(x_0)=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})\le \underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert x_{n_k}\Vert \le 1$$即 $x_0$ 也在单位闭球内. 这就证明了弱紧性.

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4相关概念

术语翻译

自反 Banach 空间 • 英文 reflexive Banach space