Banach 代数

Banach 代数是带乘法的 Banach 空间.

1定义

定义 1.1. Banach 代数是 $\mathbb{C}$ 上 Banach 空间 $(A,\Vert \cdot \Vert )$ 附带 $\mathbb{C}$-结合代数结构, 满足对任意 $x,y\in A$, $\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

注 1.2. 本百科约定环和结合代数都含幺, 所以 Banach 代数自然也含幺. 当然有时也需要考虑无幺者, 称之为无幺 Banach 代数.

定义 1.3 (同态). Banach 代数 $A$ 到 $B$ 的同态指的是保持加法、乘法、幺元的连续映射 $A\to B$.

注 1.4. 类似地, 其它一些环论概念如可逆元、理想等, 自然对 Banach 代数有定义. 我们通常直接挪用而不另加说明. 于是同态的核是闭理想.

2性质

定理 2.1. Banach 代数 $A$ 中的可逆元集 $A^{\times }$ 为开.

证明. 任取 $a\in A^{\times }$, 要证 $A^{\times }$ 包含 $a$ 的邻域. 由乘以 $a^{-1}$ 是同胚, 可不妨设 $a=1$. 现注意到对 $x\in A$, $\Vert x\Vert <1$, 有级数 $1+x+x^2+\cdots$ 收敛且给出 $(1-x{)}^{-1}$, 即得结论.

$\square$

推论 2.2. Banach 代数的 (左、右、双边) 理想闭包还是 (左、右、双边) 理想, 真 (左、右、双边) 理想的闭包还是真 (左、右、双边) 理想. 特别地, 极大 (左、右、双边) 理想为闭.

证明. 理想的闭包还是理想, 是因为 (左、右) 乘以元素都为连续. 真理想的闭包还是真理想, 是因为可逆元集为开, 而理想是真理想当且仅当其与可逆元集无交. 这样极大理想的闭包还是真理想, 由极大性它必须等于闭包, 故为闭.

$\square$

3例子

4相关概念

•	交换 Banach 代数
•	Tate 环

术语翻译

Banach 代数 • 英文 Banach algebra • 德文 Banach-Algebra • 法文 algèbre de Banach