事件

事件, 也称为随机事件, 是概率论中的基本概念. 大致来说, 事件类似于命题, 但命题的成立与否却取决于某些随机的因素. 例如, “掷一枚骰子, 得到的点数是偶数” 就是一个事件, 它的成立与否取决于掷骰子的结果, 而掷骰子的结果是随机的. 每个事件都有其发生的概率, 是一个 $0$ 与 $1$ 之间的数.

在现代的基于测度论的概率论中, 事件的概念等同于可测集, 而事件发生的概率则等同于其测度.

1定义

定义 1.1 (事件). 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是概率空间. 则其中的事件是指 $\mathcal{F}$ 的元素, 也就是 $\Omega$ 中的可测集.

注意到, 并非所有的 $\Omega$ 的子集都算作事件, 只有那些可测集才算作事件. 这是因为, 像在测度论中一样, 只有对可测集才能定义测度. 类似地, 在概率论中, 只有对事件才能定义概率.

2关系与运算

事件都是 $\sigma$-代数的元素, 是集合, 所以它们将继承集合和 $\sigma$-代数的特征, 但存在一些概率论特有的定义和记号. 我们简单地列出它们, 并解释它们的直观含义.

•	$\varnothing$ 和 $\Omega$ 分别被称为不可能事件和必然事件. 需要注意的是, 这二者与概率为 $0$ 或 $1$ 并不等同.

•	如果 $A\subseteq B$, 称事件 $A$ 包含于事件 $B$, 或事件 $B$ 包含事件 $A$. 这个关系可以解释为: 事件 $A$ 发生时, $B$ 一定发生. 如果 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$, 则 $A=B$, 称事件 $A,B$ 相等.

•	对事件 $A$ 和事件 $B$, $A\cup B$ 仍是事件, 称为 $A,B$ 的并事件或者和事件. 有时也记为 $A+B$. 并事件的含义是, $A,B$ 至少有一个发生. 更一般地, 设 $(E_n{)}_{n\ge 1}$ 是一列事件, 则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$ 也是事件.

•	对事件 $A$ 和事件 $B$, $A\cap B$ 仍是事件, 称为 $A,B$ 的交事件或者积事件. 有时也记为 $AB$. 交事件的含义是, $A,B$ 二者都发生. 更一般地, 设 $(E_n{)}_{1\le n\le N}$ 是一列事件, 则 ${\bigcap }_{n=1}^N{E}_n$ 也是事件.

•	如果事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $A\cap B=\varnothing$, 则称 $A,B$ 是互斥事件. 互斥事件的含义是, 事件 $A,B$ 二者至多只能发生一个.

•	对事件 $A$, $\bar{A}=\Omega \setminus A$ 仍是事件, 称为 $A$ 的对立事件, 以及 $A,\bar{A}$ 互为对立事件. 对立事件的含义是, $A,\bar{A}$ 必然恰好发生其中一个.

3相关概念

术语翻译

事件 • 英文 event • 德文 Ereignis • 法文 événement • 日文 事象 (じしょう) • 韩文 사건 (事件)