Poisson 分布

Poisson 分布是一种概率分布. 如果某种事件在时间轴中完全随机地出现, 且每次出现的时刻互不影响, 则该事件在固定时间段内出现的次数就服从 Poisson 分布. 例如, 固定时间段内来到公共汽车站的乘客数, 或是固定时间段内某放射性物质发射出的粒子数等, 都近似满足 Poisson 分布.

1定义

定义 1.1 (Poisson 分布). 设 $\lambda >0$, 设 $X$ 是取值于 $\mathbb{N}$ 的离散型随机变量. 如果对任意 $k\in \mathbb{N}$, 有$$\mathbb{P}(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},$$则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布, 记为 $X\sim P(\lambda )$.

2性质

基本性质

•

设随机变量 $X$ 服从 Poisson 分布 $P(\lambda )$. ∘ $X$ 的期望是 $\mathbb{E}(X)=\lambda$. ∘ $X$ 的方差是 $\mathrm{Var}(X)=\lambda$. ∘ $X$ 的 $n$ 阶原点矩可以表示为$$\mathbb{E}(X^n)=\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}S(n,k),$$其中 $S(n,k)$ 表示 第二类 Stirling 数. ∘ $X$ 的特征函数是 ${\varphi }_X(t)=\exp (\lambda ({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-1))$. ∘ $\mathbb{P}(X=k)$ 在 $k=\lfloor \lambda \rfloor$ 时达到最大.

•	设两个独立的随机变量 $X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2)$, 则 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$.

Poisson 分布的来源

首先, Poisson 分布可以来自二项分布的近似.

命题 2.1 (Poisson 近似). 设 $X_n\sim B(n,p_n)$ 为一列服从二项分布的随机变量. 如果$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n=\lambda >0,$$则对任意 $k\in \mathbb{N}$, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(X_n=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$

另外, 如引言中介绍的, Poisson 分布还可以由 Poisson 过程得到.

命题 2.2 (Poisson 过程的唯一性). 设计数过程 $\{X(t)\mid t\ge 0\}$ 满足如下性质:

1.	$X(0)=0$;
2.	过程是独立增量的, 即若 $(a,b)\cap (c,d)=\varnothing$, 则 $X(b)-X(a)$ 和 $X(d)-X(c)$ 是相互独立的;
3.	过程是平稳增量的, 即对任意 $s,t\ge 0,k\in \mathbb{N}$: $$\mathbb{P}(X(s+t)-X(s)=k)=\mathbb{P}(X(t)=k);$$
4.	过程是普通的, 即存在 $\lambda >0$, 使得 $t\to 0^{+}$ 时$$\mathbb{P}(X(s+t)-X(s)=1)=\lambda t+o(t),\mathbb{P}(X(s+t)-X(s)\ge 2)=o(t).$$

则对任意 $t>0$, 必然有 $X(t)\sim P(\lambda t)$.

证明. 把区间 $[0,t]$ 等分为 $n$ 个小区间: $[0,t]={\bigcup }_{i=1}^n{I}_i$. 对区间 $I=[a,b]$, 令 $X(I)=X(b)-X(a)$, 则 $X(t)={\sum }_{i=1}^{n}X(I_i)$. 为了计算 $\mathbb{P}(X(t)=k)$, 设事件 $A$ 表示恰有 $k$ 个小区间满足 $X(I_i)=1$, 其余都是 $0$; 而事件 $B$ 表示 $X(t)=k$, 但有某个小区间满足 $X(I_i)\ge 2$. 则$$\mathbb{P}(X(t)=k)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B).$$用事件 $B_i$ 表示事件 $X(I_i)\ge 2$, 则由 Boole 不等式和条件: $$\mathbb{P}(B)\le \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{B}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(B_i)=\sum _{i=1}^{n}o(t/n)=t\frac{o(t/n)}{t/n},$$在 $n\to \infty$ 时趋于 $0$. 另一方面, 我们有$$p_n:=\mathbb{P}(X(I_i)=1)=\frac{\lambda t}{n}+o\left(\frac{t}{n}\right)$$对每个 $i$ 成立, 且 $X(I_i)$ 是相互独立的. 事件 $A$ 可以视为在每个小区间都做一次试验检测 $X(I_i)$ 是否为 $1$, 成功次数恰好为 $k$ 次, 而这恰是二项分布. 即$$\mathbb{P}(A)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}.$$因为 ${\lim }_{n\to \infty }n{p}_n=\lambda t$, 故根据命题 2.1 得 $\mathbb{P}(A)\to {\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},n\to \infty$. 也就是结果: $$\mathbb{P}(X(t)=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$

$\square$

术语翻译

Poisson 分布 • 英文 Poisson distribution • 德文 Poisson-Verteilung (f) • 法文 loi de Poisson (f) • 日文 Poisson 分布 (Poisson ぶんぷ) • 韩文 Poisson 분포 (Poisson 分布)