条件期望

条件期望是随机变量在某种限制条件下的期望.

例如, 掷一枚均匀的骰子, 设其结果为 $X$. 若已知 $X$ 为偶数, 则该条件下 $X$ 的条件期望为$$\mathbb{E}(X\mid X\text{ 是偶数})=\frac{1}{3}(2+4+6)=4.$$

一般地说, 对随机变量 $X,Y$ 而言, 可以谈论已知 $Y$ 的取值时 $X$ 的条件期望 $\mathbb{E}(X\mid Y)$. 从测度的角度看, 它也就是概率空间中水平集 $Y=y$ 上 $X$ 的平均值.

1定义

定义 1.1. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间, $X$ 为其上的随机变量. 设 ${\mathcal{F}}_0\subseteq \mathcal{F}$ 是子 $\sigma$-代数. 设 $\mathbb{E}(X)<\infty$. 则 $X$ 在给定 ${\mathcal{F}}_0$ 下的条件期望 $\mathbb{E}(X\mid {\mathcal{F}}_0)$ 是一个随机变量 $Y$, 满足以下两个条件:

•	$Y$ 是 ${\mathcal{F}}_0$-可测的.
•	对任何 $A\in {\mathcal{F}}_0$, 都有 $\mathbb{E}(X{1}_A)=\mathbb{E}(Y{1}_A)$. 此处 $1_A$ 是集合 $A$ 的指示函数.

另外, 如果 $Z$ 是另一个随机变量, ${\mathcal{F}}_0$ 是 $Z$ 生成的子 $\sigma$-代数, 即所有 $Z^{-1}(B)$($B$ 为 Borel 可测集) 生成的子 $\sigma$-代数, 则记 $\mathbb{E}(X\mid Z)=\mathbb{E}(X\mid {\mathcal{F}}_0)$.

根据 Radon-Nikodym 定理不难得知条件期望是存在的, 且在几乎必然意义下是唯一的.

2例子

•	对随机事件 $A$, 如果随机变量 $X=1_A$, 那么 $X$ 在给定 ${\mathcal{F}}_0$ 下的条件期望是 $\mathbb{E}(1_A\mid {\mathcal{F}}_0)=\mathbb{P}(A\mid {\mathcal{F}}_0)$ (几乎必然), 也就是事件 $A$ 在给定 ${\mathcal{F}}_0$ 下的条件概率.

3性质

命题 3.1. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间, $X$ 为其上的随机变量. 设 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ 为子 $\sigma$-代数.

1.	如果 $Y=\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G})$, 那么 $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(X)$.
2.	对于常数 $a_1,a_2$ 和随机变量 $X_1,X_2$, 我们有 $\mathbb{E}(a_1{X}_1+a_2{X}_2\mid \mathcal{G})=a_1\mathbb{E}(X_1\mid \mathcal{G})+a_2\mathbb{E}(X_2\mid \mathcal{G})$.
3.	如果 $X,Y$ 是随机变量, $Y$ 是 $\mathcal{G}$-可测的, 那么 $\mathbb{E}(XY\mid \mathcal{G})=Y\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G})$ (几乎必然).
4.	如果 $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{G}$ 是 $\sigma$-代数, 则 $\mathbb{E}(E(X\mid \mathcal{G})\mid \mathcal{H})=\mathbb{E}(X\mid \mathcal{H})$.

证明. (…)

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另外, 如果我们令$$L^2(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})=\{X\mid X:\Omega \to \mathbb{R}是随机变量,满足\mathbb{E}(X^2)<\infty \}$$并定义内积$$⟨X,Y⟩=\mathbb{E}(XY)$$则 $L^2(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是 Hilbert 空间. 在这样的空间中可以进行正交分解:

命题 3.2 (正交分解). 设 $X\in L^2(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$, $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ 为子 $\sigma$-代数. 则 $Y=\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G})\in L^2(\Omega ,\mathcal{G},\mathbb{P})$, 且有正交分解$$X=Y+Z$$其中 $⟨Y,Z⟩=0$.
另外, $Y$ 还是最佳逼近元, 即$$\mathbb{E}(X-Y{)}^2=\underset{y\in L^2(\Omega ,\mathcal{G},\mathbb{P})}{\inf }\mathbb{E}(X-y{)}^2$$

证明. (…)

$\square$

术语翻译

条件期望 • 英文 conditional expectation