概率论

概率论是一个数学分支, 研究具有随机性的现象, 或者具有不确定性的现象.

现代的概率论建立在测度论的基础上. 在概率论中, 所有可能性组成的集合叫做概率空间, 定义为一个总测度为 $1$ 的测度空间, 而随机变量则定义为该空间上的可测函数.

概率论的两类主要定理是大数定律与中心极限定理.

概率论也是量子力学的基本要素之一. 在量子力学中, 粒子的运动状态是不确定的, 这是它与经典力学的本质区别.

1历史

我们通常所理解的概率论起源于 Pascal 和 Fermat 等人对于赌博游戏的学习. 那是的概率论研究的多是离散的事件, 并且主要用的都是一些组合的技巧. 随着对于连续事件的逐渐研究, 人们也将微积分引入了概率论中. 当时的概率论还并不能严格地属于数学的一门分支. 很多的概念还是过于直观, 缺乏足够的严谨性.

1933 年, 苏联数学家 Kolmogorov 使用了测度论的语言将概率论公理化, 他也同时用这套语言证明了一些已有的定理. 概率论也就这样逐步被主流数学接受, 并且成为了数学的分支之一.

2研究对象

随机变量

随机变量是定义在概率空间上的可测函数. 从直观上来看, 随机变量的取值随试验结果不同而不同, 它们可以用来表示任何具有随机性的量. 因为概率测度具有特殊性: 全空间测度为 $1$, 所以对随机变量的研究方法与测度论中对可测函数的研究有所不同.

随机过程

随机过程是随机变量的集合, 它们被通过指标集进行编号. 如果把指标集视为一种 “时间”, 则随机过程就是 “随时间变化的随机变量”. 在自然科学和金融学等领域中常常需要研究它们, 如粒子运动和股票波动等.

术语翻译

概率论 • 英文 probability theory • 德文 Wahrscheinlichkeitstheorie (f) • 法文 théorie des probabilités (f) • 拉丁文 theoria probabilitatum (f) • 古希腊文 θεωρία πιθανοτήτων (f)