均匀分布

均匀分布是一种概率分布. 大致来说, 称随机变量 $X$ 满足闭区间 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 上的均匀分布, 是说 $X$ 的取值将会均匀地落在区间 $[a,b]$ 中.

1定义

定义 1.1 (均匀分布). 设 $X$ 是实值随机变量, $a<b$ 是实数. 如果 $X$ 的一个概率密度函数为$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& x\in [a,b],\\ 0,& x\notin [a,b],\end{array}$$则称 $X$ 服从区间 $[a,b]$ 上的均匀分布, 记为 $X\sim U[a,b]$. 特别地, $U[0,1]$ 称为标准均匀分布.

对随机向量, 可以定义多维均匀分布.

定义 1.2 (多维均匀分布). 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是概率空间, $\mathbf{X}:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$ 是随机向量. 设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 Borel 可测集, 其 Lebesgue 测度有限. 如果 $\mathbf{X}$ 的一个概率密度函数为$$p(\mathbf{x})=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{m(D)},& \mathbf{x}\in D,\\ 0,& \mathbf{x}\notin D,\end{array}$$这里 $m$ 是 Lebesgue 测度, 则称 $X$ 服从 $D$ 上的 $\mathbf{n}$ 维均匀分布, 记为 $\mathbf{X}\sim U(D)$.

2性质

基本性质

•

设实值随机变量 $X\sim U[a,b]$. ∘ $X$ 的累积分布函数是$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a,\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b,\\ 1,& x>b.\end{array}$$ ∘ $X$ 的期望是 $\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$. ∘ $X$ 的方差是 $\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$. ∘ 对自然数 $n$, $X$ 的 $n$ 阶原点矩是$$\mathbb{E}(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)},$$$2n$ 阶中心矩是$$\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X){)}^{2n}=\frac{(b-a{)}^{2n}}{(2n+1)4^n},$$奇数阶中心矩为 $0$. ∘ $X$ 的特征函数是$${\varphi }_X(t)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}tb}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}ta}}{\mathrm{i}t(b-a)}.$$当 $t=0$ 时函数值为上述式子在 $t\to 0$ 时的极限 $1$.

•	设 $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 Borel 可测集且测度有限, 随机向量 $\mathbf{X}\sim U(D)$. ∘ 对 Borel 可测集 $B$, 有$$\mathbb{P}(\mathbf{X}\in B)=\frac{m(B\cap D)}{m(D)}.$$ ∘ 如果 $D=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$, 则 $\mathbf{X}$ 的边缘分布是均匀分布: $X_i\sim U[a_i,b_i]$, 且它们相互独立. 对于一般的 $D$, 这种性质一般不成立.

•	可以从均匀分布生成任何分布. 如果 $F$ 是一个累积分布函数, 随机变量 $\theta \sim U[0,1]$, 则 $X=F^{-1}(\theta )$ 的累积分布函数恰好是 $F$. 这里 $F$ 的反函数定义为$$F^{-1}(u)=\sup \{x\mid F(x)\le u\},$$这使得 $F(x)\le u$ 等价于 $x\le F^{-1}(u)$.

术语翻译

均匀分布 • 英文 uniform distribution • 德文 Stetige Gleichverteilung • 法文 loi uniforme continue • 日文 連続一様分布 (れんぞくいちようぶんぷ) • 韩文 연속균등분포 (連續均等分布)

多维均匀分布 • 英文 multivariate uniform distribution