期望

在概率论中, 随机变量的期望 (或数学期望、均值) 大致是指在所有可能的情况下, 该随机变量的平均取值. 例如, 投一枚普通的骰子, 得到点数的期望是 $3.5$, 因为这是所有可能情况 $1,2,3,4,5,6$ 的均值.

1定义

定义 1.1. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是概率空间, $X:\Omega \to \mathbb{R}$ 是实值随机变量. 则 $X$ 的期望定义为 Lebesgue 积分$$\mathbb{E}(X)={\int }_{\Omega }X\mathrm{d}\mathbb{P}.$$

类似地, 对有限维实向量空间 $V$ 及随机向量 $\mathbf{X}:\Omega \to V$, 其期望定义为 Lebesgue 积分$$\mathbb{E}(\mathbf{X})={\int }_{\Omega }\mathbf{X}\mathrm{d}\mathbb{P}.$$

需要注意的是, 随机变量、随机向量不一定存在期望, 因为上述积分不一定收敛. 对实值随机变量而言, 当积分等于 $\pm \infty$ 时, 也称随机变量的期望为 $\pm \infty$.

对实值随机变量 $X$, 上述定义也可等价地表述如下. 其期望的存在性等价于以下表述中积分的存在性或级数的收敛性.

•	如果 $X$ 是离散型随机变量, 其所有可能取值为 $x_1,x_2,\dots$, 并且取值 $x_i$ 的概率为 $p_i$, 则$$\mathbb{E}(X)=\sum _i{x}_i{p}_i.$$

•	如果 $X$ 是连续型随机变量, 其概率密度函数是 $p$, 则 $X$ 的期望等于 Lebesgue 积分$$\mathbb{E}(X)={\int }_{\mathbb{R}}xp(x)\mathrm{d}x.$$

•	设 $\mu$ 是 $X$ 的概率分布. 则 $X$ 的期望等于 Lebesgue 积分$$\mathbb{E}(X)={\int }_{\mathbb{R}}x\mathrm{d}\mu (x).$$

•	设 $F$ 是 $X$ 的累积分布函数. 则 $X$ 的期望等于 Riemann–Stieltjes 积分$$\mathbb{E}(X)={\int }_{\mathbb{R}}x\mathrm{d}F(x).$$

上述等价表述对随机向量也有类似的版本.

2性质

基本性质

固定概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

•	对实数 $a,b$ 和实值随机变量 $X,Y$, 有 $\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)$.

•	对实值随机变量 $X,Y$, 若两者都存在期望, 且 $X\le Y$, 即对几乎所有 $\omega \in \Omega$ 有 $X(\omega )\le Y(\omega )$, 则 $\mathbb{E}(X)\le \mathbb{E}(Y)$.

•	(Jensen 不等式) 设 $X$ 是取值于区间 $I\subset \mathbb{R}$ 的随机变量, 且存在期望. 设 $g:I\to \mathbb{R}$ 是 Borel 可测的凸函数. 则 $g(\mathbb{E}(X))\le \mathbb{E}(g(X))$, 其中后者可能是 $+\infty$.

3相关概念

术语翻译

期望 • 英文 expectation • 德文 Erwartungswert (m) • 法文 espérance (f) • 日文 期待値 (きたいち) • 韩文 기댓값 (期待値)