集合代数

集合代数 (常简称为代数, 也称为域) 是某个集合的一族子集构成的集合, 这族子集对于有限并、有限交、取补集的运算封闭.

一类叫做 $\sigma$-代数的集合代数是测度论和概率论中的基本对象, 因为所有可测集构成 $\sigma$-代数 (特别地, 也构成集合代数).

1定义

定义 1.1 (集合代数). 设 $X$ 是集合. 则 $X$ 上的代数是指 $X$ 的一族子集 $\mathcal{F}\subset 2^X$, 满足以下条件:

•	如果 $E\in \mathcal{F}$, 那么 $E$ 的补集 $X\setminus E\in \mathcal{F}$.
•	如果 $n\in \mathbb{N}$, 且 $E_1,\dots ,E_n\in \mathcal{F}$, 那么 $E_1\cup \cdots \cup E_n\in \mathcal{F}$.

注 1.2. 在定义 1.1 中,

•	有限个 $\mathcal{F}$ 中集合的交也在 $\mathcal{F}$ 中, 因为它们的交是它们的补集的并的补集.
•	一定有 $\varnothing ,X\in \mathcal{F}$, 因为 $\varnothing$ 是 $0$ 个集合的并, 而 $X$ 是 $\varnothing$ 的补集.

注 1.3. 定义 1.1 等价于说, $\mathcal{F}$ 是 Boole 代数 $2^X$ 的子代数. 这也是这种结构叫做 “代数” 的原因.

2相关概念

•	集合环
•	$\sigma$-代数
•	Boole 代数

术语翻译

代数 • 英文 algebra • 德文 Algebra (f) • 法文 algèbre (f) • 拉丁文 algebra (f) • 古希腊文 μεταριθμία (f)

集合代数 • 英文 algebra of sets • 德文 Mengenalgebra (f) • 法文 algèbre d’ensembles (f) • 拉丁文 algebra copiarum (f) • 古希腊文 μεταριθμία συνόλων (f)