邻域

在拓扑学中, 拓扑空间 $X$ 中一个点 $x$ 的邻域是指包含 $x$ 的一个子集 $U\subset X$, 使得任何距离 $x$ 足够近的点也都在 $U$ 中. 邻域可以非常小, 但一定包含从 $x$ 出发各个方向上离 $x$ 最近的那些点.

1定义

定义 1.1 (邻域). 设 $X$ 是拓扑空间, $x\in X$ 是一个点, $U\subset X$ 是子集.

•	称 $U$ 为 $x$ 的邻域, 若 $x$ 含于 $U$ 的内部. 等价地说, $x$ 属于一个包含于 $U$ 的开集.

•	称 $U$ 为 $x$ 的开邻域, 若 $U$ 是 $X$ 中的开集, 且包含 $x$.

更一般地, 设 $X$ 是拓扑空间, $U,V\subset X$ 是子集.

•	称 $U$ 为 $V$ 的邻域, 若 $V$ 包含于 $U$ 的内部. 等价地说, $V$ 包含于一个包含于 $U$ 的开集.

•	称 $U$ 为 $V$ 的开邻域, 若 $U$ 是 $X$ 中的开集, 且包含 $V$.

在度量空间中, 点的邻域也可以等价定义如下: $U$ 是点 $x$ 的邻域等价于存在 $\epsilon >0$, 使得开球 $B_{\epsilon }(x)$ 包含于 $U$.

2相关概念

术语翻译

邻域 • 英文 neighbourhood • 美式英文 neighborhood • 德文 Umgebung (f) • 法文 voisinage (m) • 日文 近傍 (きんぼう) • 韩文 근방 (近傍)