l’Hôpital 法则

l’Hôpital 法则是微积分中, 计算函数的极限的一种方法. 考虑形如$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$$的极限. 如果 ${\lim }_{x\to c}f(x)$ 和 ${\lim }_{x\to c}g(x)$ 均为 $0$ (也称为 $\frac{0}{0}$ 型), 或二者均为 $\infty$ (也称为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型), 那么在适当条件下, 就有$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$这样, 我们常常可以化简极限的表达式, 从而求出其值.

1定理和证明

定理 1.1 (l’Hôpital 法则). 设 $f,g:I\to \mathbb{R}$ 是定义在开区间 $I=]a,b[$ 上的函数, 其中 $-\infty \le a<b<+\infty$. 设 $c\in [a,b]$ (可以是 $\pm \infty$). 假设

•	$f$、$g$ 在 $I\setminus \{c\}$ 上可导.
•	以下二者之一成立: ∘ ${\lim }_{x\to c}f(x)={\lim }_{x\to c}g(x)=0$, 或者 ∘ ${\lim }_{x\to c}g(x)=\infty$.
•	极限 ${\lim }_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在. 特别地, $g^{\prime }(x)$ 在 $c$ 附近非零.

则$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$(如果 $c$ 是区间 $I$ 的端点, 那么上述所有极限都用相应的单边极限代替.)

证明. 通过缩小区间 $I$, 不妨设 $g^{\prime }(x)$ 在整个 $I$ 中非零. 这样, 由 Rolle 定理, $g$ 在 $I\setminus \{c\}$ 的每个分支 (共 $1$ 或 $2$ 个) 上是单调函数.

由此及 Cauchy 中值定理, 对任意 $x,y\in I\setminus \{c\}$, 如果它们在 $c$ 的同一侧, 并且 $x\ne y$, 则存在 $\xi \in I$, 它介于 $x,y$ 之间, 使得$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}.$$上式可以重写为$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(y)}{g(x)}+\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}(1-\frac{g(y)}{g(x)}).$$(1)当 $x\to c$ 时, 我们可以同时令 $y\to c$, 使得在这一过程中, $$\frac{f(y)}{g(x)}\to 0,\frac{g(y)}{g(x)}\to 0.$$这一点可以做到, 是由于定理中二选一的条件. 而 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间, 从而在这一过程中, 也有 $\xi \to c$. 这样, 式 (1) 蕴涵我们想要的结论.

$\square$

2例子

例 2.1. 我们来计算极限$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{\sin x}.$$使用定理 1.1, 我们立刻得出$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{\cos x}=1.$$

术语翻译

l’Hôpital 法则 • 英文 l’Hôpital’s rule • 德文 Regel von l’Hôpital (f) • 法文 règle de l’Hôpital (f)