极小素理想

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

顾名思义, 极小素理想指的就是素理想中的极小者. 下面将会看到它总存在.

1定义

定义 1.1. 环 $R$ 的极小素理想指的是其素理想中极小者. $R$-模 $M$ 的极小素理想指的是其支集 $\mathrm{Supp}(M)$ 的素理想中极小者, 在有限生成时亦即环 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 的极小素理想.

2例子

•	整环的极小素理想只有 $0$.
•	$\mathbb{Z}[x,y]/(xy)$ 的极小素理想有两个, $(x)$ 与 $(y)$.
•	零维环的每个素理想都极小.

3性质

定理 3.1. 每个非零环都有极小素理想. 于是每个非零有限生成模也都有极小素理想.

证明. 由 Zorn 引理, 只需证每一链素理想的交还是素理想. 设 $\{{\mathfrak{p}}_i{\}}_{i\in I}$ 是一链素理想, $\mathfrak{p}$ 是其交. 则对 $a,b\notin \mathfrak{p}$, 对每个 $i\in I$ 都有 $a,b\notin {\mathfrak{p}}_i$ 从而 $ab\notin {\mathfrak{p}}_i$, 所以 $ab\notin \mathfrak{p}$. 所以 $\mathfrak{p}$ 是素理想.

$\square$

命题 3.2. 极小素理想的元素都是零因子.

证明. 设 $R$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其极小素理想, $a\in \mathfrak{p}$. 则局部化 $R_{\mathfrak{p}}$ 只有一个素理想 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$, 故 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ 为幂零根, 于是 $a$ 在 $R_{\mathfrak{p}}$ 为幂零. 特别地, $a$ 为 $R_{\mathfrak{p}}$ 的零因子, $R_{\mathfrak{p}}$ 的自映射 “乘以 $a$” 不是单射. 由局部化的正合性知 $R$ 的自映射 “乘以 $a$” 也不是单射, 即 $a$ 是 $R$ 的零因子.

$\square$

4相关概念

•

零因子

术语翻译

极小素理想 • 英文 minimal prime ideal • 德文 minimales Primideal • 法文 idéal premier minimal