Cayley–Hamilton 定理

Cayley–Hamilton 定理是线性代数中的一个结论, 它说明任何方阵都满足它自身的特征方程. 也就是说, 其特征多项式作用于自身, 等于零矩阵.

1陈述与证明

定理 1.1 (Cayley–Hamilton). 设 $A$ 为交换环 $R$ 上的 $n\times n$ 方阵, 其中 $n$ 为正整数. 设$$p(x)=\det (xI-A)$$为 $A$ 的特征多项式. 则$$p(A)=0,$$其中右边是 $n\times n$ 的零矩阵.

证明. 记 $B(x)=xI-A$, 并视之为 $R[x]$ 上的矩阵. 记 $\tilde{B}(x)$ 为 $B(x)$ 的伴随矩阵, 从而$$B(x)\tilde{B}(x)=\tilde{B}(x)B(x)=p(x)I_n,$$其中 $I_n$ 为 $n\times n$ 单位矩阵. 对任何列向量 $u(x)=u_0+x{u}_1+\cdots +x^m{u}_m\in R[x{]}^n$, 其中每个 $u_i\in R^n$, 我们记$$u(x){|}_{x=A}=u_0+A{u}_1+\cdots +A^m{u}_m.$$则对任何列向量 $v\in R^n$, 有$$\begin{array}{rl}p(A)v& =p(x)v{|}_{x=A}\\ & =\tilde{B}(x)B(x)v{|}_{x=A}\\ & =\tilde{B}(x)(xv-Av){|}_{x=A}\\ & =0.\end{array}$$因此, $p(A)$ 必为零矩阵.

$\square$

2推论与应用

(…)

术语翻译

Cayley–Hamilton 定理 • 英文 Cayley–Hamilton theorem • 德文 Satz von Cayley–Hamilton (m) • 法文 théorème de Cayley–Hamilton (m)