Wedderburn 小定理

Wedderburn 小定理说的是, 有限除环都是域.

1定理与证明

定理 1.1. 有限除环都是域.

证明. 设 $D$ 是有限除环, $F$ 为其中心, 则 $F$ 是有限域. 记 $q=|F|$, $n={\dim }_{F}D$, 则 $|D|=q^n$, 要证 $n=1$. 注意对任一 $x\in D$, $$C_D(x)=\{y\in D\mid xy=yx\}$$是除环, 且 $F\subseteq C_D(x)\subseteq D$, 从而其元素个数必形如 $q^d$, 其中 $d\mid n$. 写出 $D^{\times }$ 的类方程$$q^n-1=q-1+\sum \frac{q^n-1}{q^d-1},$$其中和式对所有非平凡共轭类求. 考虑分圆多项式 ${\Phi }_n(T)$, 则对 $d\mid n$, $d<n$, 在 $\mathbb{Z}[T]$ 中有 ${\Phi }_n(T)\mid \frac{T^n-1}{T^d-1}$, 代入 $T=q$ 有 ${\Phi }_n(q)\mid \frac{q^n-1}{q^d-1}$. 这样, 类方程就给出 ${\Phi }_n(q)\mid q-1$. 而依定义$${\Phi }_n(q)=\prod _{\zeta 为n次本原单位根}(q-\zeta ),$$如 $n>1$, 易知其模长大于 $q-1$, 矛盾! 故只有 $n=1$, $D=F$ 是域.

$\square$

推论 1.2. 没有零因子的有限环是域.

证明. 没有零因子无非就是说, 对非零元 $a$, “乘以 $a$” 都是单射. 由于有限, 单射都是双射, 这推出非零元都可逆, 于是该环是除环. 由定理它是域.

$\square$

注 1.3. 定理相当于说有限域的 Brauer 群都是 $0$. 这也可以用 Chevalley–Warning 定理以及曾定理证明.

2相关概念

•	Brauer 群
•	Artin–Wedderburn 定理

术语翻译

Wedderburn 小定理 • 英文 Wedderburn’s little theorem • 德文 (kleiner) Satz von Wedderburn • 法文 (petit) théorème de Wedderburn