Chevalley–Warning 定理

Chevalley–Warning 定理是由 Claude ChevalleyEwald Warning 于 1935 年证明的结果, 说的是如有限域上方程组的元数比各方程次数之和高, 则其零点个数被域的特征整除.

1定理与证明

定理 1.1. 考虑有限域 , 设 为其特征. 设 是次数分别为 的多项式, 满足, 其中

证明.Fermat 小定理, 对 , 因此, 令 , 就有于是 便等价于这是下面的引理.

引理 1.2., 则 的次数小于 , 则

证明. 有限域的乘法群循环. 取 的生成元 , 则 . 而 “乘以 ” 是 到自身的双射, 于是所以 . 至于那个关于多项式的命题, 显然只需对单项式证. 由抽屉原理, 小于 次的单项式中必有一个变元的次数小于 , 用乘法分配律将其提出去即得欲证.

2推论

如定理中的多项式常数项都是 , 比如它们都是正次数的齐次式, 则由于 , 由 即知方程组有非零的零点. 特别地, 有限域上次数小于元数的齐次多项式有非平凡零点. 换言之, 有限域都 .

3相关概念

组合零点定理

Ax–Katz 定理

术语翻译

Chevalley–Warning 定理英文 Chevalley–Warning theorem德文 Satz von Chevalley–Warning法文 théorème de Chevalley–Warning