Ck 域

${\text{C}}_k$ 域是代数闭域的减弱. 相比代数闭性要求每个一元方程都有解, 它只要求变元数比次数大得多的多元方程有解. 此概念由 Serge Lang 于 1952 年引入, 推广了曾炯 1933 年的结果.

1定义

定义 1.1. 固定 $k\in \mathbb{N}$. 称域 $F$ 为 ${\text{C}}_{\mathbf{k}}$ 域, 意思是对 $d,N\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 只要 $N>d^k$, 就有 $F$ 上 $N$ 元 $d$ 次齐次方程在 $F$ 中有非平凡解.

注 1.2. 显然 ${\text{C}}_0$ 域就是代数闭域. ${\text{C}}_1$ 域也称为拟代数闭域.

2性质

以下定理是 ${\text{C}}_k$ 性的来源.

定理 2.1 (曾–Lang–Nagata). 对 $k,n\in \mathbb{N}$, ${\text{C}}_k$ 域上超越次数 $n$ 的扩张为 ${\text{C}}_{k+n}$.

这一概念主要的好处是以下定理, 证明参见主条目曾定理.

定理 2.2 (曾). ${\text{C}}_1$ 域上有限维可除代数都是域. 换言之, 其 Brauer 群平凡.

3例子

•	代数闭域是 ${\text{C}}_0$ 域. 由定理 2.1, 其上超越次数 $n$ 的域是 ${\text{C}}_n$ 域. 特别地, 其上代数曲线的有理函数域是 ${\text{C}}_1$ 域. 这一点对于发展平展上同调理论十分重要.
•	由 Chevalley–Warning 定理, 有限域是 ${\text{C}}_1$ 域. 它与定理 2.2 合起来给出 Wedderburn 小定理的另证.

4相关概念

•	Brauer 群
•	Chevalley–Warning 定理
•	曾定理

术语翻译

${\text{C}}_k$ 域 • 英文 ${\text{C}}_k$ field • 德文 ${\text{C}}_k$-Körper • 法文 corps ${\text{C}}_k$