狭义相对论

约定. 在本文中,

• 为简洁起见, 我们设定光速 $c=1$.

狭义相对论是在物理中描述高速物体运动规律的学科, 它扬弃了经典力学中绝对时间和绝对空间的概念, 而使用绝对时空 (简称为时空) 取而代之. 经典力学可以看作狭义相对论的低速近似.

在狭义相对论中时空的对称群是 Poincaré 群, 某种意义上, 狭义相对论即研究那些在 Poincaré 群下协变的量. 在物理的语言里, 这表明各个惯性参考系处于相同的地位, 并通过 Lorentz 变换相联系.

狭义相对论是建立在平坦的时空上的, 如果考虑可能弯曲的时空, 相应的理论即是广义相对论.

1历史

2形式化

狭义相对论可以给出严格的形式化. 为此首先我们描述时空, 物理事件发生的 “舞台”.

时空与坐标

公理 (时空). 狭义相对论中的时空是带有 Minkowski 度量的 $\mathbb{R}$ 上 $n+1$ 维仿射空间 $U$, 称为 Minkowski 空间. 即带有正、负惯性指数分别为 $1,n$ 的二次型的 $\mathbb{R}$ 上 $n+1$ 维仿射空间 $(U,Q)$.

以下如无歧义, 我们将 $U$ 相应的向量空间也记为 $U$.

注 2.1. 对 (经典意义下) 的惯性系, 可建立时空为 $\mathbb{R}\oplus W$, 两个分量分别代表此系中的时间与空间, 度量为 $t^2-|x{|}^2$. 这即建立了相对论与经典理论的联系.

下面谈论的时空中度量均指 Minkowski 度量, 空间中度量仍为正常的 Euclid 度量. 我们接下来研究 Minkowski 空间的坐标系.

定义 2.2 (标架). 一组 ($\mathbf{n}+1$)-标架是 $U$ 的一点 $x$ (此时通过取 $x$ 为原点将 $U$ 视为向量空间) 以及一组 (伪) 标准正交基. 即 $(e_0,e_1,\cdots ,e_n)$ 使得 $|e_0{|}^2=-|e_1{|}^2=\cdots =-|e_n{|}^2=1$.

一组标架给出了 $U$ 的分解$$U=\mathbb{R}\oplus {\mathbb{R}}^n=:⟨e_0⟩\oplus ⟨e_1,\dots ,w_n⟩.$$其中 $\mathbb{R}$ 称为时间, ${\mathbb{R}}^n$ 称为空间. 此时时空中的一点 (称为事件) 的时间坐标定义为它的 $t$ 分量. 空间坐标定义为它的其余分量.

物理中的惯性参考系即定义为这样一组标架.

Lorentz 变换是狭义相对论中的坐标变换.

定义 2.3 (Lorentz 变换). 固定原点 $x$, Lorentz 变换是 $U$ 保持原点的等距同构.

有如下两类较为重要的 Lorentz 变换.

定义 2.4 (增速变换). 增速变换为由下式给出的坐标变换$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\frac{x-\mathbf{v}t}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}}\\ t^{\prime }=\frac{t-\mathbf{v}\cdot x}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}},\end{array}$$相应的 (保持原点的) 标架变换, 其中 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$ 为原来的标架对应的空间中的向量, 则称第二组参考系相对第一组参考系以速度 $\mathbf{v}$ 运动.

注 2.5. 上述定义是合理的, 因为它是唯一的等距变换, 使得空间向量 $\mathbf{v}$ 在变换后落在直线 $x+\mathbf{v}t=0$ 上 (即满足经典意义下的惯性系变换条件), 且与 $\mathbf{v}$ 垂直的空间向量不变. 并且可以注意到如果 $\mathbf{v}\ll 1$ 则变换近似为经典力学中的 Galileo 变换.

定义 2.6 (旋转变换). 给定时空的一个分解 $U\simeq \mathbb{R}\oplus {\mathbb{R}}^n$, 选择变换是保持时间分量不变, 空间分量如同在普通的 Euclid 空间那样进行旋转.

注 2.7. 旋转变换的物理直观是两组参考系互相保持静止, 但相应的坐标系取得不一样而导致的坐标变换. 并不是说两组参考系在做相对的旋转运动.

经过上述准备之后, 我们可以描述质点的运动.

质点运动学

所谓质点即是时空中的点, 配有一个不随着运动改变的非负实数 $m$ (带有一个质量量纲, 不过此处并不重要), 称为它的质量.

定义 2.8.

•	向量 $v\in U$ 被称为类时 (类光, 类空) 的, 如果 $|v{|}^2>0$ ($|v{|}^2=0$, $|v{|}^2<0$).
•	$U$ 的子空间被称为类时 (类光, 类空) 的, 如果 $Q$ 在此子空间上的限制是正定 (零, 负定) 的.
•	曲线 $C\in U$ 被称为类时 (类光, 类空) 的, 如果它在所有点处的切空间是类时 (类光, 类空) 的.

公理 (运动). 质点在其中的运动由时空中一条分段光滑曲线表述 (这里要求曲线满足条件: 对任意标架, 曲线上的任意两点的时间分量不同), 称为世界线. 质量为零的质点的世界线为类光曲线, 质量非零的质点的世界线为类时曲线.

注 2.9. 如给定一组标架, 世界线即为经典意义下质点的运动轨迹.

我们在下面的几个定义中假定质点是有质量的 (即质量大于 $0$).

定义 2.10 (固有时). 质点的固有时是质点的世界线的弧长参数的参数化, 即映射 $\gamma :(-\infty ,\infty )\to C$ 使得$$|{\gamma }^{\prime }(\tau ){|}^2=1,\forall \tau \in \mathbb{R}.$$这一参数化在差一个定向的意义下唯一.

定义 2.11 (速度). 质点的 ($n+1$)-速度是上述定义中的 ${\gamma }^{\prime }$, 通常记为 $v$; 在给定标架后, 质点的 $n$-速度是 $v$ 的空间分量除以时间分量, 通常记为 $\mathbf{v}$. 可计算得$$v=(\frac{1}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}},\frac{v}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}})$$

定义 2.12 (动量与能量). 质点的 ($n+1$)-动量是 $mv$, 即质量乘 ($n+1$)-速度. 通常记为 $p$. 在给定的标架之下, 质点的 $n$-动量 (简称为动量) 为 ($n+1$)-动量的空间分量, 通常记为 $\mathbf{p}$; 质点的能量 (或称为动能, 如果可能有其它形式的能量) 为 ($n+1$)-动量的时间分量, 通常记为 $E$. 可计算得$$p=(E,\mathbf{p})=(\frac{m}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}},\frac{m}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}})$$

由上述定义容易发现 $v^2=1$, $p^2=E^2-{\mathbf{p}}^2=m^2$.

如果质点质量为 $0$, 上述定义失效, 须采用以下的公理代替之:

公理. 无质量质点的 ($n+1$)-动量为某个满足 $|p{|}^2=0$ 的时空向量 $p$, 使得它与质点世界线在相应点处的切向量平行.

注 2.13. 可以看出, 有质量质点的 $n$-速度与经典意义下的速度相同, 且当 $\mathbf{v}\ll 1$ 时, 质点的动量近似为 $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$, 即经典意义下的动量; 质点的能量为 $m(1+\frac{1}{2}{\mathbf{v}}^2)$, 即质量加上经典意义下的动能. 这些也说明了经典理论是相对论在低速条件下的近似.

注 2.14. 有些作者会使用动质量的说法, 即定义在给定标架下以速度 $\mathbf{v}$ 运动的质量 $m$ 的质点动质量为 $\frac{m}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2}}$. 这一说法已被现代理论物理所摒弃 (Einstein 本人在其后期著作也认为应不引入这个概念). 其原因大致如下: 如引入这个量则它没有 Lorentz 协变性 (接下来会看到其它量, 例如 ($n+1$)-动量满足此一性质); 在量子场论等理论中人们认为质量是粒子的基本性质; 它和能量是等价的. 因此我们也不使用这个说法.

注 2.15. 在以上描述中我们设定光速 $c=1$, 如想得到含有 $c$ 的式子, 只需把式子中每个量按照其量纲乘 $c$ 的若干次方. 例如 $n$-速度的量纲是速度, 由此只需将 $\mathbf{v}$ 替换为 $\mathbf{v}/c$, 能量的量纲是速度的平方乘质量, 由此其形式为$$\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2/c^2}}.$$

质点动力学

使用 Lagrange 力学描述

电动力学

参见: [[$\mathrm{U}(1)$-规范理论|$\mathrm{U}(1)$-规范理论]]

电动力学在相对论的框架下具有简洁的描述, 成为 $\mathrm{U}(1)$-规范理论的特例. 粗略地说, 可以将电势 $\phi$ 和磁矢势 $\mathbf{A}$ 放在一起: $A=(\phi ,\mathbf{A})$, 成为 $\mathrm{U}(1)$-规范场; 电场 $E$ 和 磁场 $B$ 被放在一起, 成为上述规范场的场强; 电荷密度和电流密度也被放在一起, 成为场的守恒流.

3性质

对称性与协变性

命题 3.1 (对称性). 时空的对称群, 即公理中 $(U,Q)$ 的等距同构群, 由如下元素生成:

•

时间与空间的平移.

•

空间的旋转.

•

增速变换.

•

时间与空间的反演.

此群称为 Poincaré 群.

命题 3.2 (动量的协变性). 对两组标架 $\{e_{\mu }\}$, $\{e_{\mu }^{\prime }\}$, 设一组变到另一组相应的 Lorentz 变换为 $\Lambda$ ($\Lambda$ 的形式写为坐标变换相应的矩阵), 则动量的变换为$$p^{\prime }=\Lambda p.$$

注 3.3. 如果质点质量为 $0$, 上述结论无法由上面的定义推导出来, 而将视为一个公理.

物理效应

命题 3.4 (同时的相对性). 在某个惯性系里同时的事件在另一个惯性系中未必同时.

命题 3.5 (尺缩效应). 在某个惯性参考系中测量惯性运动的直尺, 其结果会小于直尺在自身静止的参考系中测得的长度.

命题 3.6 (钟慢效应). 对质点的一段运动, 其固有时小于在相对其运动的某个惯性参考系中测得的时间, 即运动的时钟走的更慢.

命题 3.7 (线段最长). 在两个端点相同的所有类时曲线中, 线段在 Minkowski 度量下最长. 这是对 “双生子佯谬” 的解释.

4相关概念

•	广义相对论
•	量子场论

术语翻译

狭义相对论 • 英文 special relativity • 德文 spezielle Relativitätstheorie • 法文 relativité restreinte • 拉丁文 relativitas specialis • 古希腊文 εἰδικὴ σχετικότης • 日文 特殊相対性理論