连续可导函数

本条目存在以下问题:

• 此文应介绍连续可微映射一文中相应概念的一元版本.
• 缺少内部链接.

在微积分中, 连续可导函数是一类性质良好的函数. 大致而言, 连续可导函数不仅在定义域内每一点都可导, 并且其导函数还是连续的. 直观上, 这意味着函数的变化是 “平滑” 的, 既没有突然的转折 (可导保证) , 其变化率 (导数) 的变化也是连续的, 不会出现跳跃. 例如, 对于简单的多项式函数 $y=x^2$, 它在整个实数域上连续可导, 其导函数 $y^{\prime }=2x$ 也是连续的, 函数图像光滑无突变.

1定义

定义 1.1 (连续可导函数). 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义, 如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导, 且其导函数 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续可导, 记为 $f(x)\in C^1(I)$.

2例子

•	函数 $f(x)=\sin x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续可导, 因为 $f^{\prime }(x)=\cos x$, 而 $\cos x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续.

•	对于函数 $f(x)=e^x$, 它在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续可导, 其导函数 $f^{\prime }(x)=e^x$ 同样在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续.

3性质

基本性质

•

若 $f(x),g(x)$ 在区间 $I$ 上连续可导, 那么 $f(x)\pm g(x)$, $f(x)g(x)$ 在区间 $I$ 上也连续可导. 对于 $f(x)\pm g(x)$ , 根据求导法则 $(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$, 由于 $f^{\prime }(x)$, $g^{\prime }(x)$ 连续, 所以 $(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }$ 连续; 对于 $f(x)g(x)$ , 由乘积求导法则 $(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ , 因为 $f(x),g(x),f^{\prime }(x),g^{\prime }(x)$ 都连续, 所以 $(f(x)g(x){)}^{\prime }$ 连续.

•	连续可导函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上满足拉格朗日中值定理. 即存在 $c\in (a,b)$ , 使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ , 这是因为连续可导函数满足拉格朗日中值定理的条件.

4相关概念