中心单代数

约定. 在本文中,

• 环和代数不必交换.

一个域 $k$ 上的中心单代数指的是中心为 $k$ 且双边理想只有 $0$ 和自身的 $k$-代数. $k$ 上的有限维中心单代数给出其 Brauer 群的元素. Azumaya 代数是中心单代数在一般交换环乃至概形上的推广.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域. $k$ 上中心单代数指的是 $k$-代数 $A\ne 0$, 其中心为 $k$ 且双边理想只有 $0,A$.

注 1.2. 若去掉 $A$ 中心为 $k$ 的条件, 可设其中心为 $L$, 则 $L$ 是 (交换) 域且为 $k$ 的扩张, $A$ 是 $L$ 上中心单代数. 故只需研究中心单代数.

一般只考虑 $k$ 上有限维中心单代数.

2性质

其最重要的刻画是 Wedderburn 定理:

定理 2.1 (Wedderburn). 设 $A$ 是 $k$ 上有限维中心单代数, 则存在 $k$ 上除环 $D$ 使 $D$ 中心为 $k$ 且 $A={\mathrm{Mat}}_n(D)$.

事实上, $k$ 上有限维中心单代数有如下等价刻画:

定理 2.2 (等价刻画). 对 $k$ 上有限维代数 $A$, 以下若干事等价:

1.	$A$ 是 $k$ 上中心单代数;
2.	存在中心除环 $D$ 使 $A={\mathrm{Mat}}_m(D)$;
3.	$A\otimes \bar{k}$ 同构于某 ${\mathrm{Mat}}_n(\bar{k})$;
4.	$A\otimes k^{\mathrm{sep}}$ 同构于某 ${\mathrm{Mat}}_n(k^{\mathrm{sep}})$;
5.	存在 Galois 扩张 $L/k$ 使 $A\otimes L={\mathrm{Mat}}_n(L)$.

定理 2.3 (模论). 若 $A={\mathrm{Mat}}_n(D)$, $D$ 是除环, 则任意 $A$-左模皆是若干 $D^{\oplus n}$ 的直和, 其中 ${\mathrm{Mat}}_n(D)$ 通过左乘作用在 $D^{\oplus n}$ 上. 于是, $A$-左模的范畴与 $D$-左模的范畴等价. 特别地, 两个 $A$-左模若作为 $k$-模同构则作为 $A$-模也同构.

引理 2.4. 设 $A$ 是 $k$ 上中心单代数, 则 ${\mathrm{Mat}}_n(A)$ 亦然.

证明. 显然 ${\mathrm{Mat}}_n(A)$ 中心为 $k$. 取 $e_{ij}$ 为 ${\mathrm{Mat}}_n(A)$ 的标准基, 设 ${\mathrm{Mat}}_n(A)$ 的双边理想 $I$ 包含非零元素 $x=\sum a_{ij}{e}_{ij}$. 注意到 $e_{ui}x{e}_{jv}=a_{ij}{e}_{uv}$, 取 $i,j$ 使 $a_{ij}\ne 0$, 有 $a_{ij}{e}_{uv}\in I$, 从而 $(A{a}_{ij}A)e_{uv}\subseteq I$. 由 $A$ 单得到 $A{a}_{ij}A=A$, 故 $A{e}_{uv}\subseteq I$, 即得 $I={\mathrm{Mat}}_n(A)$.

$\square$

引理 2.5. 设 $A$ 为 $k$ 上有限维代数, $D$ 为 $k$ 上有限维除环, 中心为 $k$. 则 $A{\otimes }_{k}D$ 的双边理想 $I$ 作为左 $D$-向量空间被 $I\cap (A\otimes 1)$ 生成.

证明. 记 $I^{\prime }=D(I\cap (A\otimes 1))\subseteq I$, 反设 $I\ne I^{\prime }$, 取 $x\in I-I^{\prime }$, 取 $A/(I\cap (A\otimes 1))$ 在 $k$ 上一组基 ${\bar{a}}_i$ 并提升到 $a_i\in A$, 设$$x\equiv \sum _i{a}_i\otimes k_i(\mathrm{mod}{I}^{\prime }).$$这样 $k_i$ 不全为 $0$. 现在固定 $a_i$, 取形如上式的等式中 $k_i$ 非零者最少的 ($k_i$ 不全为 $0$, 不要求 $x\notin I^{\prime }$). 不妨 $k_1\ne 0$, 可左乘 $k_1^{-1}$ 使 $k_1=1$. 现任取 $\lambda \in D$, 考虑$$I\ni \lambda x-x\lambda \equiv \sum _{i\ne 1}{a}_i\otimes (\lambda k_i-k_i\lambda )(\mathrm{mod}{I}^{\prime }).$$若 $\lambda k_i-k_i\lambda$ 不全为 $0$, 则与上面 $x$ 与 $k_i$ 取法矛盾. 于是对任何 $\lambda$ 皆有 $\lambda k_i=k_i\lambda$, 由假设 $D$ 中心为 $k$, 故 $k_i\in k$, $a_i\otimes k_i=a_i{k}_i\otimes 1$, 故 $x\in I^{\prime }$, 矛盾.

$\square$

定理 2.6. 设 $A,B$ 是 $k$ 上有限维中心单代数, 则 $A{\otimes }_{k}B$ 亦然.

证明. 先看中心, $A\otimes B$ 的中心与 $A\otimes 1$ 交换, 故包含于 $k\otimes B$; 同理其也包含于 $A\otimes k$, 二者之交即为 $k\otimes k=k$.

再看单性. 由 Wedderburn 定理可取除环 $D$ 使 $B={\mathrm{Mat}}_n(D)$. 那么有 $A\otimes B=A\otimes D\otimes {\mathrm{Mat}}_n(k)={\mathrm{Mat}}_n(A\otimes D)$. 由引理 2.4 可约化到 $B$ 为除环的情形. 设 $I$ 是 $A\otimes B$ 的双边理想, 由引理 2.5 得 $I=B(I\cap (A\otimes 1))$, 而 $I\cap (A\otimes 1)$ 是 $A$ 的双边理想, 故为 $0$ 或 $A$, 即证.

$\square$

定理 2.7 (Skolem–Noether). $k$ 上有限维中心单代数的自同构都是内自同构.

命题 2.8 (特征多项式). 设 $A$ 是 $k$ 上有限维中心单代数, $[A:k]=n^2$. 则存在映射 $\mathrm{charpoly}:A\to k[t{]}_{\mathrm{deg}\le n}$ 使 $\mathrm{charpoly}(a)$ 每个系数均为 $a$ 在 $k$ 上坐标的多项式, 且基变换到 $\bar{k}$ 上后, $\mathrm{charpoly}(a)$ 为 $a\in {\mathrm{Mat}}_n(\bar{k})$ 的特征多项式 (定理 2.7 给出这特征多项式良好定义). 特别地, $\mathrm{trd}(a)=-[t^{n-1}]\mathrm{charpoly}(a)$ 称为 $a$ 的既约迹, $\mathrm{nrd}(a)=(-1{)}^n[t^0]\mathrm{charpoly}(a)$ 称为 $a$ 的既约范数.

3例子

•	对任意域 $k$, ${\mathrm{Mat}}_n(k)$ 是 $k$ 上中心单代数.
•	四元数环是 $\mathbb{R}$ 上除环, 所以是中心单代数. 由实数域 Brauer 群的结论, $\mathbb{R}$ 上中心单代数只有 ${\mathrm{Mat}}_n(\mathbb{R})$ 和 ${\mathrm{Mat}}_n(\mathbb{H})$ 两种.
•	上面例子可推广如下: 设 $\mathrm{char}(k)\ne 2$, 对 $a,b\in k^{\times }$, 考虑 $A=k\oplus ki\oplus kj\oplus kij$, 乘法满足 $i^2=a$, $j^2=b$, $ij=-ji$, 则 $A$ 是中心单代数, 称作四元数代数. $A$ 同构于 ${\mathrm{Mat}}_2(k)$ 当且仅当 $x^2-a{y}^2-b{z}^2=0$ 在 $k$ 上有非零解. 将这构造与整体类域论给出的 $\mathbb{Q}$ 的 Brauer 群的刻画相结合就得到二次互反律 (准确来讲是 Hilbert 符号的乘积公式).

4相关概念

•	Brauer 群
•	Wedderburn 定理
•	Azumaya 代数

术语翻译

中心单代数 • 英文 central simple algebra • 法文 algèbre simples centrales