Wedderburn 定理

约定. 在本文中,

• 环和代数不必交换. 理想, 模若不加说明默认为左理想, 左模.

Wedderburn 定理是说, 域上有限维中心单代数都是除环上矩阵环.

1叙述与证明

定理 1.1 (Wedderburn). 设 $k$ 是域, $A$ 是 $k$ 上有限维中心单代数. 则存在 $k$ 上除环 $D$, 中心为 $k$, 使 $A={\mathrm{Mat}}_n(D)$.

引理 1.2. 设 $A$ 是 $k$ 上有限维代数, $E$ 是半单 $A$-模. 记 $K={\mathrm{End}}_A(E)$, 那么可将 $E$ 看作 $K$-模, 记 $B={\mathrm{End}}_K(E)$. 那么对 $x\in E$ 有 $Bx\subseteq Ax$.

证明. 记 $F=Ax$, 它是 $E$ 的 $A$-子模, 由半单性存在直和分解 $E=F\oplus F^{\prime }$, 记 $\pi$ 是 $F\oplus F^{\prime }\to F$ 的投影. 那么 $\pi$ 为 $A$-线性, 故 $\pi \in K$. 于是对任意 $b\in B$, 由 $b$ 为 $K$-线性有 $\pi (bx)=b(\pi x)=bx$ (由 $x\in F$), 推出 $bx\in F$.

$\square$

引理 1.3. 条件同引理 1.2, 设 $E$ 有限生成, $A$ 在 $E$ 上作用忠实, 那么 $A=B$.

证明. 考虑将 $E$ 换成 $E^{\prime }=E^{\oplus n}$, 那么 $K^{\prime }={\mathrm{End}}_A(F)={\mathrm{Mat}}_n(K)$, 于是 $B={\mathrm{End}}_K(E)$ 的所有元素还与 $K^{\prime }$ 所有元素交换, 故 $B\subseteq B^{\prime }={\mathrm{End}}_{K^{\prime }}(E^{\prime })$. 于是对 $E^{\prime }$ 用引理 1.2 得到对任何 $(x_1,\dots ,x_n)\in E^{\oplus n}$, 对任何 $b\in B$ 存在 $a\in A$ 使得 $a(x_1,\dots ,x_n)=b(x_1,\dots ,x_n)$. 选取 $x_1,\dots ,x_n$ 为 $E$ 一组生成元即得 $B\subseteq A$, 但显然 $A\subseteq B$, 即证.

$\square$

定理 1.1 的证明. 取一个单 $A$-模 $E$: 这总可以做到, 因为可取 $A$ 的非零理想中极小者, $k$ 上有限维保证其存在. $A$ 在 $E$ 上作用忠实: 因为 $A\to {\mathrm{End}}_k(E)$ 的核是个双边理想, $1$ 不在其中, 故这个核为 $0$. Schur 引理给出 $K={\mathrm{End}}_A(E)$ 为除环, 设 $E$ 作为 $K$-模同构于 $K^{\oplus n}$, 那么由引理 1.3 得到 $A={\mathrm{End}}_K(E)={\mathrm{Mat}}_n(K^{\mathrm{op}})$ (取反环是因为 ${\mathrm{End}}_K(K)=K^{\mathrm{op}}$).

$\square$

2相关概念

•	中心单代数
•	Brauer 群

术语翻译

Wedderburn 定理 • 英文 Wedderburn’s theorem • 法文 théorème de Wedderburn