具体范畴

具体范畴是指一个范畴, 其中的对象可以视为带额外结构的集合. 例如, 群是带有群结构的集合, 从而群范畴是具体范畴.

1定义

定义 1.1 (具体范畴). 具体范畴是指二元组 $(\mathcal{C},U)$, 其中

•	$\mathcal{C}$ 是一个范畴.
•	$U:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 是 $\mathcal{C}$ 到集合范畴的忠实函子, 称为遗忘函子.

此时, 如果 $U$ 被对象 $x\in \mathcal{C}$ 表出, 即 $U\simeq \mathcal{C}(x,-)$, 就说 $\mathcal{C}$ 是可表具体范畴.

2例子

•	集合范畴 $\mathsf{Set}$ 是具体范畴, 其遗忘函子是 $\mathsf{Set}$ 上的恒同函子, 被单点集表出.
•	拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 是具体范畴, 其遗忘函子被单点空间表出.
•	同伦拓扑空间范畴 $\mathsf{hTop}$ 不是具体范畴.
•	群范畴 $\mathsf{Grp}$ 是具体范畴, 其遗忘函子被 $\mathbb{Z}$ 表出.
•	环范畴 $\mathsf{Ring}$ 是具体范畴, 其遗忘函子被多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 表出. 无幺环范畴 $\mathsf{Rng}$ 也是具体范畴, 其遗忘函子被 $x\mathbb{Z}[x]$ 表出.
•	域范畴 $\mathsf{Field}$ 是具体范畴, 但不是可表具体范畴, 因为不同特征的域之间没有态射.

3相关概念

•

自由–遗忘伴随

术语翻译

具体范畴 • 英文 concrete category • 德文 konkrete Kategorie • 法文 catégorie concrète