箭头纤维化

约定. 在本文中,

• 箭头范畴记作 $C^{\to }$ 而不是 $C^I$, 这是为了将符号 $I$ 用作其它集合的名称.

箭头纤维化是纤维范畴$$\mathrm{cod}:{\mathsf{Set}}^{\to }\to \mathsf{Set},$$它将箭头范畴 ${\mathsf{Set}}^{\to }$ 的对象 $f:X\to I$ 映到集合 $I$. 我们将这样的映射 $f$ 视为以 $I$ 为指标集的集族 $(X_i{)}_{i\in I}$, 其中 $X_i=f^{-1}(i)$ 是 $f$ 在 $i$ 处的纤维.

对集合 $I$, 箭头纤维化在 $I$ 处的纤维就是所有到 $I$ 的集合映射构成的范畴, 即集合范畴的俯范畴 ${\mathsf{Set}}_{/I}$.

箭头纤维化可以进行多种推广, 比如可以将集族换成范畴族, 得到族纤维化.

1性质

定义 1.1 (换基). 考虑族 $(Y_j{)}_{j\in J}$ 和映射 $f:I\to J$, 后者通过纤维范畴的结构而诱导函子$$f^{\ast }:{\mathsf{Set}}_{/J}\to {\mathsf{Set}}_{/I}$$由此得到族 $(X_i{)}_{i\in I}$, 其中 $X_i=Y_{f(i)}$. 该操作叫换基.

术语翻译

箭头纤维化 • 英文 arrow fibration

换基 • 英文 base-change