代数几何–解析几何对应

代数几何–解析几何对应, 简称 GAGA 是指一系列陈述代数几何与解析几何对象之间关系的定理. 这些定理成为两种几何之间的桥梁.

此页面讨论代数几何与复解析几何对象之间的关系. 对形式几何与刚性几何可以陈述相似的定理. 参见代数几何–形式几何对应和代数几何–刚性几何对应.

1主定理

定理 1.1. 设 $X$ 是光滑紧合复代数簇, 记它的解析化为 $X^{\mathrm{an}}$. 则

•	$$\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}^{\mathrm{an}},\mathsf{Coh}(X)\to \mathsf{Coh}(X^{\mathrm{an}})$$是范畴等价. 这里 $\mathsf{Coh}$ 表示凝聚层范畴. ${\mathcal{F}}^{an}$ 表示 $\mathcal{F}$ 的解析化.
•	$$H^i(X,\mathcal{F})\simeq H^i(X,{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}).$$即相应层的上同调相等.

2其它结论

定理 2.1 (周). 设 $X$ 是光滑紧合复代数簇, 记它的解析化为 $X^{\mathrm{an}}$. 则 $Y\mapsto Y^{\mathrm{an}}$ 诱导了 $X$ 的光滑闭子簇和 $X^{\mathrm{an}}$ 的闭子复流形的双射.

定理 2.2 (平展–奇异比较). 设 $X$ 是复代数簇, 记 $X^{\mathrm{an}}$ 为它的解析化, $A$ 为环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_p$, ${\mathbb{Q}}_p$ 之一. 则$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\cdot }(X,A)\simeq H_{\mathrm{sing}}^{\cdot }(X,A)$$为上同调环之间的同构. 其中左式表示平展上同调, 右式表示奇异上同调, 二者均以 $A$ 为系数环.

3相关结论

•	Kodaira 嵌入定理
•	Riemann 存在定理

术语翻译

代数几何–解析几何对应 • 英文 algebraic geometry and analytic geometry • 德文 algebraische Geometrie und analytische Geometrie • 法文 géométrie algébrique et géométrie analytique • 拉丁文 geometria algebraica et geometria analytica • 古希腊文 μεταριθμικὴ γεωμετρία καὶ ἀναλυτικὴ γεωμετρία