δ-环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

$\mathbf{\delta }$-环指一个环附带一个 $\delta$ 运算, 满足若干公理. 这些公理大致是在说, 映射 $a\mapsto a^p+p\delta (a)$ 是个自同态.

1定义

定义 1.1. $\delta$-环指有序对 $(A,\delta )$, 其中 $A$ 是环, $\delta :A\to A$ 是自映射, 满足对任意 $a,b\in A$,

•	$\delta (a+b)=\delta (a)+\delta (b)+\frac{a^p+b^p-(a+b{)}^p}{p}$;
•	$\delta (1)=0,\delta (ab)=b^p\delta (a)+a^p\delta (b)+p\delta (a)\delta (b)$;

其中 $\frac{a^p+b^p-(a+b{)}^p}{p}$ 视为关于 $a,b$ 的整系数多项式, 而非在 $A$ 中做除法. 无歧义时隐去记号中的 $\delta$. 对于 $\delta$-环 $A$, 我们用 $\phi$ 表示映射 $a\mapsto a^p+p\delta (a)$. 由公理易知 $\phi :A\to A$ 是环同态. 有歧义时, 常将 $\delta ,\phi$ 记为 ${\delta }_A,{\phi }_A$.

$\delta$-环组成的范畴记作 $\delta \text{-}\mathsf{Ring}$.

注 1.2. 此概念由 André Joyal 提出. 他认为这个 $\delta$ 是导数的类比, 故使用这一字母. 他还将其称为 $p$-导数.

注 1.3. $\delta$-环的公理看似复杂, 其实就是在要求 $\phi$ 是环同态的等式中消项、除以 $p$ 所得. 因此, 对于 $p$-无挠的环 $A$, 其上 $\delta$ 结构无非相当于给定 $A/p$ 的 Frobenius 同态的提升 $\phi :A\to A$. 下面将会看到, 一般地, $\delta$ 结构相当于给定导出商 $A{/}^{L}p$ 的 Frobenius 同态的导出提升.

2例子

•	$\mathbb{Z}$ 的自同态只有 $\mathrm{id}$, 故其 $\delta$-结构只有 $\delta (a)=\frac{a-a^p}{p}$. 显然这是初始的 $\delta$-环.
•	由上例知, 对任意 $\delta$-环 $A$ 以及任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $\delta (p^n)=p^{n-1}-p^{np-1}\not\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^n)$. 由此可见, 如果一个非零环中 $p^n=0$, 那么它就没有 $\delta$-结构.
•	对 $\delta$-环 $A$ 以及变元 $x$, 考虑 $A$ 上可数生成多项式环 $A[x,\delta (x),{\delta }^2(x),\dots ]$, 并如记号所示定义 $\delta$. 这是 $A$ 上一元生成的自由 $\delta$-环, 记作 $A\{x\}$.
•	对 $\delta$-环 $A$ 以及变元 $x$, 形式幂级数环 $A[[x]]$ 上有唯一的连续 $\delta$-结构, 满足 $\delta (x)=0$. 这是 Breuil–Kisin 棱镜中的构造.
•	Witt 环自然地是个 $\delta$-环, 其 $\phi$ 正是 Witt 环的 Frobenius.

3性质

命题 3.1. 环 $A$ 的 $\delta$-结构相当于自然投影 $W_2(A)\to A$ 的截面.

证明. 容易验证 $\delta$-环定义中的式子等价于要求 $A$ 到 $W_2(A)$ 的映射 $a\mapsto (a,\delta (a))$ 是环同态.

$\square$

4推广

在导出情景下, $\delta$-环的概念更为简单:

定义 4.1 (导出 $\delta$-环). 导出 $\delta$-环指导出环 $A$ 附带自同态 $\phi :A\to A$ 以及交换图表$$AAA/pA/p\phi \text{Frob}$$其中 $A/p=A{\otimes }_{\mathbb{Z}}{\mathbb{F}}_p$ 是导出基变换, $\text{Frob}$ 是导出 ${\mathbb{F}}_p$-代数的 Frobenius 同态, 纵向箭头是自然投影.

导出 $\delta$-环组成的范畴记作 $\delta \text{-}\mathsf{DRing}$.

以下命题说明此定义和经典定义一致.

命题 4.2. 静止的导出 $\delta$-环就是 $\delta$-环.

证明. 对导出环 $A$, 定义 $W_2(A)$ 为拉回$$W_2(A)AAA/p\text{Frob}$$其中右侧箭头为自然投影, 下方箭头为自然投影复合 Frobenius. 则由 Witt 环的性质, $A$ 为静止时, 这就是经典的 $W_2(A)$, 左侧箭头为自然投影, 上方箭头为幽灵分量. 于是给一个满足定义 4.1 要求的 $\phi$, 就相当于给自然投影 $W_2(A)\to A$ 的一个截面. 对静止的 $A$, $W_2(A)$ 也是静止的, 导出的截面也就相当于经典的截面, 于是由命题 3.1 立得结论.

$\square$

下面的定理说的是经典 $\delta$-环能够一定程度上控制同伦群非负的导出 $\delta$-环.

定理 4.3. $\delta \text{-}{\mathsf{DRing}}_{\ge 0}=\mathsf{Ani}(\delta \text{-}\mathsf{Ring})$.

5相关概念

•	$\lambda$-环
•	棱镜

术语翻译

$\delta$-环 • 英文 $\delta$-ring • 德文 $\delta$-Ring • 法文 $\delta$-anneau