参数系

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

参数系是个交换代数概念. 从几何上看, 参数系可视为代数簇的局部坐标系.

1定义

定义 1.1. 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $r$ 的 Noether 局部环, $M$ 是有限生成 $A$-模.

•	若 $A$ 中一组元素 $a_1,\dots ,a_r$ 生成的理想 $(a_1,\dots ,a_r)$ 是 $\mathfrak{m}$-准素理想, 则称 $a_1,\dots ,a_r$ 是 $A$ 的一组参数系.

•	若 $M$ 的维数 $\dim M=s$, 且 $A$ 中一组元素 $b_1,\dots ,b_s$ 使得 $\ell (M/(b_1,\dots ,b_s)M)<+\infty$, 则称 $b_1,\dots ,b_s$ 是 $M$ 的一组参数系. 这里 $\ell$ 指长度.

根据 Noether 局部环的维数理论, 参数系总存在. 一般而言, $\dim A\le {\dim }_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$; 如果该等号成立即 $A$ 是正则局部环时, $\mathfrak{m}$ 自己就可以被 $\dim A$ 个元素生成. 这种情况下称生成 $\mathfrak{m}$ 的参数系为正则参数系.

2性质

命题 2.1. 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $r$ 的 Noether 局部环.

•	若 $x_1,\dots ,x_r$ 是其参数系, 则 $\dim A/(x_1,\dots ,x_i)A=r-i(1\le i\le r).$

•	存在参数系 $x_1,\dots ,x_r$, 使得其中任意 $i$ 个元素生成理想的高度都等于 $i$.

注意不是所有参数系都满足最后一条性质.

命题 2.2. 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $r$ 的正则局部环, $x_1,\dots ,x_i$ 是 $\mathfrak{m}$ 的元素. 以下几条等价:

•	$x_1,\dots ,x_i$ 是 $A$ 某个正则参数系的子集.
•	$x_1,\dots ,x_i$ 在 $A/\mathfrak{m}$-线性空间 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 中的像是线性无关的.
•	$A/(x_1,\dots ,x_i)$ 是 $r-i$ 维正则局部环.

定义 2.3 (解析独立). 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环. 称一组元素 $y_1,\dots ,y_n\in \mathfrak{m}$ 解析独立, 如果满足以下条件:

•	若齐次多项式 $F\in A[Y_1,\dots ,Y_n]$ 满足 $F(y_1,\dots ,y_n)=0$, 则其系数一定属于 $\mathfrak{m}$.

注意到, 此时对任何域 $k\subset A$ 以及 $k$-系数非零 $n$ 元齐次多项式 $F$, 都有 $F(y_1,\dots ,y_n)\ne 0$.

命题 2.4. 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $r$ 的 Noether 局部环, $x_1,\dots ,x_r$ 是其一组参数系, 则 $x_1,\dots ,x_r$ 解析独立.

下面定理表明若 $A$ 的剩余类域无限, 则可以从任何 $\mathfrak{m}$-准素理想中提取参数系.

命题 2.5. 若 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $r$ 的 Noether 局部环, 且其剩余类域 $A/\mathfrak{m}$ 是无限域. 那么对任何 $\mathfrak{m}$-准素理想 $\mathfrak{q}=(u_1,\dots ,u_s)$, 都存在 $u_1,\dots ,u_s$ 的 $r$ 个 $A$-线性组合$$y_i=\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{u}_j,(a_{ij}\in A,1\le i\le r)$$使得它们生成的理想 $(y_1,\dots ,y_r)$ 是 $\mathfrak{q}$ 的约简, 且 $y_1,\dots ,y_r$ 组成 $A$ 的参数系.

3相关概念

•	正则局部环
•	Cohen–Macaulay 环,
•	正则序列

术语翻译

参数系 • 英文 system of parameters • 日文 巴系